|
|
PEMA4101
Hakikat dan Sejarah Matematika
Sukardjono
3 sks / modul 1-9: ill.; 21 cm
ISBN : 9790111576
DDC : 510
Copyright (BMP) © Jakarta: Universitas Terbuka, 2007
Tinjauan Mata Kuliah
Mata kuliah Hakikat dan Sejarah Matematika ini akan memberikan fasilitas
kepada Anda untuk membangun (konstruksi) pengertian, sikap dan nilai Anda
tentang apa matematika ditinjau dari hakikat dan sejarahnya sehingga
terbuka kemungkinan pembelajaran matematika Anda di SMP atau SMA akan
semakin efektif.
Seorang matematikawan dan filsuf
Amerika, Williams L. Schaaf pernah mengatakan: "Tidak seorang guru pun
dapat melakukan tugasnya dengan efektif dan kreatif tanpa pemahaman yang
cukup terhadap perkembangan bidang studi yang diasuhnya". Karena itu
mata kuliah ini sangat penting bagi Anda pengajar matematika di SMP maupun
di SMA yang tentunya setiap saat, selalu bersedia untuk meningkatkan mutu
pembelajarannya. Dengan mempelajari mata kuliah ini Anda akan lebih mantap
dan percaya diri dalam melakukan pembelajaran matematika di kelas.
Setelah mengikuti mata kuliah
ini Anda diharapkan mampu:
- menjelaskan hakikat matematika, filsafat
matematika, dan filsafat pendidikan matematika;
- menjelaskan bahwa matematika adalah warisan budaya
manusia;
- menjelaskan perkembangan matematika sejak dahulu
sampai masa kini;
- menjelaskan cara berpikir matematika;
- menjelaskan landasan-landasan dasar matematika;
- menjelaskan sifat-sifat kebenaran matematika;
- menjelaskan perkembangan geometri dan
aklimatisasinya;
- menjelaskan bahwa matematika mampu berperan sebagai
metode dan seni.
Materi mata kuliah ini disajikan
dalam sembilan (9) modul dengan rincian sebagai berikut.
- Modul 1: Hakikat Matematika.
- Modul 2: Matematika sebagai Warisan Budaya.
- Modul 3: Perkembangan Matematika.
- Modul 4: Berpikir Matematis.
- Modul 5: Sifat Kebenaran Matematika (Bagian 1).
- Modul 6: Sifat Kebenaran Matematika (Bagian 2).
- Modul 7: Landasan Matematika.
- Modul 8: Geometri Aksiomatis dan Empiris.
- Modul 9: Matematika Sebagai Metode dan Seni.
MODUL 1: Hakikat
Matematika
Kegiatan Belajar 1:
Matematika dan Peradaban Manusia
Rangkuman
Matematika adalah alat yang dapat membantu memecahkan berbagai permasalahan
(dalam pemerintahan, industri, sains). Dalam perjalanan sejarahnya,
matematika berperan membangun peradaban manusia sepanjang masa.
Metode yang digunakan adalah
eksperimen atau penalaran induktif dan penalaran deduktif. Penalaran
induktif adalah penarikan kesimpulan setelah melihat kasus-kasus yang
khusus. Kesimpulan penalaran induktif memiliki derajat kebenaran barangkali
benar atau tidak perlu benar.
Penalaran deduktif adalah penarikan
kesimpulan dari hal-hal yang umum ke hal yang khusus. Kebenaran dalam
penalaran deduktif adalah yakin benar atau pasti benar asalkan asumsi yang
mendasarinya juga benar.
Kegiatan Belajar 2:
Filsafat Matematika
Rangkuman
Filsafat adalah ilmu pengetahuan yang menyelidiki hakikat sesuatu. Pakar
filsafat disebut filsuf, dan adjektifnya filosofi. Setiap filsuf memiliki
definisi sendiri-sendiri. Tidak bertentangan tetapi sering saling
melengkapi dan ini menunjukkan luasnya bidang persoalan dalam filsafat.
Empat hal yang merangsang manusia untuk berfilsafat: ketakjuban,
ketidakpuasan, hasrat bertanya, dan keraguan. Sifat dasar filsafat adalah:
berpikir radikal, mencari asas, memburu kebenaran, mencari kejelasan, dan
berpikir rasional. Peranan filsafat adalah sebagai pendobrak, pembebas, dan
pembimbing. Aristoteles membagi filsafat ke dalam filsafat teoretis,
praktis, dan produktif. Filsuf yang lain membagi filsafat dengan cara lain
pula. Epistemologi adalah cabang filsafat yang bersangkutan dengan ilmu pengetahuan.
Pokok persoalan epistemologi adalah sumber, asal mula, sifat dasar, bidang,
batas, jangkauan, dan validitas serta reliabilitas ilmu pengetahuan.
Ontologi adalah cabang filsafat yang membahas segala sesuatu secara
menyeluruh. Pembahasan apa yang tampil dan apa yang realita. Tiga teori
dalam ontologi adalah: idealisme, materialisme, dan dualisme.
Filsafat dari berbagai bidang
ilmu: misalnya filsafat politik, ekonomi, bahasa, pendidikan, matematika,
hukum, dan sebagainya.
Filsafat matematika dan filsafat
umum dalam sejarahnya adalah saling melengkapi. Filsafat matematika
bersangkut paut dengan fungsi dan struktur teori-teori matematika.
Teori-teori itu terbebas dari asumsi-asumsi atau metafisik.
Filsuf matematika yang
dikenalkan di sini adalah Pythagoras, Plato, Aristoteles, Leibniz, dan
Kant. Doktrin Pythagoras antara lain bahwa fenomena yang tampak berbeda
dapat memiliki representasi matematis yang identik (cahaya, magnet, listrik
- sebagai getaran - dapat memiliki persamaan diferensial yang sama).
Aristoteles menekankan, menemukan 'dunia permanen' merupakan realita
daripada 'apa yang tampak'. Aristoteles lebih menekankan pada 'absraksi'
daripada 'apa yang tampak'. Leibniz dan Kant menekankan pada proposisi
matematis.
Kegiatan Belajar 3:
Filsafat Pendidikan Matematika
Rangkuman
Filsafat pendidikan adalah pemikiran-pemikiran filsafat tentang pendidikan.
Dapat mengonsentrasikan pada proses pendidikan, dapat juga pada ilmu
pendidikan. Jika mengutamakan proses pendidikan, yang dipersoalkan adalah
cita-cita, bentuk, metode, dan hasil dari proses pendidikan. Jika
mengutamakan ilmu pendidikan maka yang menjadi pusat perhatian adalah
konsep, ide, dan metode pengembangan dalam ilmu pendidikan. Filsafat
pendidikan matematika termasuk filsafat yang membahas proses pendidikan
dalam bidang studi matematika. Aliran-aliran yang berpengaruh dalam
filsafat pendidikan antara filsafat analitik, progesivisme,
eksistensialisme, rekonstruksionisme, dan konstruktivisme.
Pendidikan matematika adalah
bidang studi yang mempelajari aspek-aspek sifat dasar dan sejarah
matematika, psikologi belajar dan mengajar matematika, kurikulum matematika
sekolah, baik pengembangan maupun penerapannya di kelas.
Filsafat konstruktivisme banyak
mempengaruhi pendidikan matematika sejak tahun sembilan puluhan.
Konstruktivisme berpandangan bahwa belajar adalah membentuk pengertian oleh
si belajar. Jadi siswa harus aktif. Guru bertindak sebagai mediator dan
fasilitator.
MODUL 2: Matematika
sebagai Warisan Budaya
Kegiatan Belajar 1:
Matematika Empiris (Abad ke-6 SM - 1850)
Rangkuman
Pusat perkembangan aritmetika
1000 SM - 600 SM
|
:
|
Sumeria, Babilonia,
Mesir kuno
|
|
|
Pengembang aritmetika:
pedagang, orang-orang awam
|
600 SM - 300 SsM
|
:
|
YunaniPengembang: para
Filsuf, terutama Pythagoras
|
|
|
Pengembang: para Filsuf,
terutama Pythagoras
|
300 - 1200
|
:
|
Stagnan. Di Eropa ada
beberapa orang
|
|
|
Boethius, Alcuino,
Gerbert, Leonardo Fibonacci
|
1200 - 1800
|
:
|
di Eropa, fajar
menyingsing
|
|
|
Robert Recorde, Gemma
Frietius, Simon Steven, John Napier, Newton, Leibniz
|
Budaya yang paling menonjol
dapat dikatakan sebagai ciri khas budaya suatu bangsa. Ciri khas bangsa
Yunani kuno adalah ide-ide idealnya, bangsa Romawi dengan budaya politik,
militer dan suka menaklukkan bangsa lain. Bangsa Mesir kuno dengan seni
keindahan dan juga mistik. Tahun 600 - 1200 ciri khas budaya bangsa Eropa
adalah teologis. Tahun 1200 - 1800 budaya bangsa Eropa mulai eksplorasi
alam sebelum revolusi industri. Abad ke-19, dan 20 penciptaan mesin-mesin
otomatis berbarengan dengan kemajuan dalam bidang sains dan matematika.
Bangsa-bangsa Babilonia, Mesir,
Sumeria dapat dipandang sebagai matematika empiris. Nama ini berkaitan
dengan perkembangan matematika yang selalu untuk memenuhi keperluan dalam
perdagangan, pengukuran, survei, dan astronomi. Dengan kata lain matematika
diangkat dari pengalaman manusia bergelut dengan masalah-masalah praktis
dalam kehidupan sehari-hari. Walaupun demikian matematika empiris ini telah
mengantisipasi datangnya matematika non-empiris seperti telah digunakannya
bilangan negatif, dan sistem bilangan alam atau asli yang menuju
ketakhingga.
Kontribusi paling menonjol
bangsa Yunani terhadap perkembangan matematika terletak pada dipilihnya
metode deduktif dan kepercayaannya bahwa fenomena alam dapat disajikan
dalam lambang-lambang bilangan. Dan ini terbukti sekarang telah ditemukan
alat-alat elektronik digital.
Bangsa Eropa sendiri baru
belakangan tertarik pada matematika. Selama 1000 tahun matematika
berkembang di Asia kecil (Yunan, Arab). Tahun 400 - 120 perkembangan matematika
dapat dikatakan mandek, hanya beberapa gelintir orang mengembangkan secara
individual (tanpa ada komunikasi satu sama lain), di antara mereka adalah
Boethius, Alcuino, dan Gerberet, dan yang paling akhir Leonardo Fibonacci.
Barulah pada abad ke-16, pusat
perkembangan matematika berada di Eropa.
Kegiatan Belajar 2:
Matematika Kontemporer (1850 - Sekarang)
Rangkuman
Aritmetika memiliki peran ganda: sebagai alat bantu sains dan perdagangan,
dan sebagai uji komparatif landasan dasar tempat sistem matematika itu
dibangun. Hogben, Well, dan McKey dan lain-lain telah melukiskan peran
aritmetika dengan indahnya.
Perkembangan kalkulasi yang
paling spektakuler adalah diciptakannya "otak elektronik",
komputer. Komputer lebih banyak memerlukan matematika daripada aritmetika
elementer. Penciptaan komputer memerlukan kolaborasi para pakar matematika,
aritmetika, dan ahli teknik pakar mesin.
Pada abad 20 perkembangan
aritmetika makin abstrak dan tergeneralisasi. Perkembangannya mengacu pada
aljabar dan analisis guna lebih "mengeraskan" aritmetika.
Sebaliknya yang terakhir ini disebut "arimetisasi"
Abstraksi dan generalisasi pada
abad 20 telah diantisipasi oleh Lobachevsky dengan munculnya geometri
non-euclidnya. Selanjutnya pakar-pakar lain seperti Peacock, Gregory,
DeMorgan, memandang aljabar dan geometri sebagai
"hipothetico-deductive" dengan cara Euclid.
Dengan kritikan tajam oleh
Cantor, Dedekind, dan Weirstrass terhadap sifat-sifat sistem bilangan
(seperti faktorisasi, habis dibagi dan sebagainya) pada tahun 1875, pada
tahun 1899 Hilbert muncul dengan "metode postulatsional". Dengan
demikian, dari pandangan ini, bilangan, titik, garis dan sebagainya adalah
abstrak murni, tidak mempunyai kaitan dengan benda fisik. Akhirnya Peano
berjaya menjelaskan bahwa sistem bilangan 1, 2, 3, . . . dapat diperluas
(dalam arti dapat "menghasilkan") sistem bilangan bulat,
rasional, real, dan kompleks hanya melalui postulat pada bilangan alam.
Permasalahan terakhir adalah
masalah "landasan" atau "pondasi" matematika atas mana
struktur matematika itu dibentuk.
Matematika yang telah berkembang
selama dua ribu lima ratus tahun oleh generasi ke generasi, ternyata dapat
diajarkan kepada anak-anak "hanya" dalam beberapa tahun di
sekolah. Oleh karena itu, Prof Judd (psikolog) mengatakan bahwa aritmetika
adalah kreasi manusia paling perfect (sempurna) dan alat untuk berkomunikasi
sesama manusia. Dengan demikian matematika perlu dijaga dan dikembangkan
untuk mengantarkan manusia menyongsong hari esok yang cerah.
MODUL 3: Perkembangan
Matematika
Kegiatan Belajar 1:
Perkembangan Sebelum Renaissance
Rangkuman
Perkembangan matematika dilihat dari produktivitas baik kuantitatif maupun
kualitatif dari waktu ke waktu makin meningkat dan sangat cepat.
Perbandingan ini dikaitkan dengan skala waktu. Perbandingan produktivitas
terhadap skala waktu, secara kuantitatif dapat digambarkan mendekati secara
eksponensial pertumbuhan biologis.
Ada dua macam pembagian
mengikuti waktu atau periode perkembangan. Yang pertama, pembagian waktu ke
dalam tiga periode, yakni, "dahulu", "pertengahan", dan
"sekarang". Pembagian ini berdasarkan pertumbuhan matematika
sendiri dan daya tahan hidup sesuai zamannya. Yang kedua, pembagian menurut
cara konvensional dalam tujuh skala waktu menurut penemuan naskah yang
dapat dihimpun, yakni (1) Babilonia dan Mesir Kuno, (2) Kejayaan Yunani
(600 SM - 300), (3) Masyarakat Timur dekat (sebagian sebelum dan sebagian
lagi sesudah (2)), (4) Eropa dan masa Renaissance, (5) Abad ke-17, (6) Abad
ke-18 dan 19, dan (7) Abad ke-20. Pembagian ini mengikuti perkembangan
kebudayaan Eropa.
Setiap periode, baik yang membagi
menjadi 3 atau pun 7, memiliki ciri khas yang umum. Pada periode
"dahulu", ciri khasnya adalah empiris, mendasarkan pada
pengalaman (indera) hidup manusia. Periode "pertengahan" mulai
dengan analisis (Descartes, Newton, Leibniz, Galileo), sedangkan pada
periode "sekarang" ciri khasnya adalah metode abstraksi dan
generalisasi. Ternyata perkembangan matematika dilihat dari kualitas dan
kekuatannya jauh lebih penting daripada dilihat secara kuantitas. Ingatlah
akan definisi matematika yang mengatakan "matematika adalah cara
berpikir dan bernalar", lihat Modul 1. Sedang kekuatannya, misalnya,
lihatlah geometri Euclid dibanding dengan geometri non-euclid, yang
terakhir ini mampu menyelesaikan masalah lebih rumit (geometri non-euclid
digunakan dalam mengembangkan teori relativitas dalam ilmu fisika)
Walaupun demikian kadang-kadang
korelasi antara perkembangan matematika dan kebudayaan kadang-kadang
korelasi itu negatif.
Kegiatan Belajar 2:
Perkembangan Matematika Sesudah Renaissance
Rangkuman
Masing-masing dari 7 periode terdapat peningkatan kematangan yang
signifikan, namun juga terdapat keterbatasannya. Pada periode Yunani,
matematika masih bersifat empiris. Pada abad ke-17, kekurangan itu
diperbaiki dengan munculnya geometri analitik, proyektif, dan diferensial
pada abad berikutnya. Revitalisasi diperlukan agar pertumbuhan matematika
makin berkembang dan dapat digunakan dalam ilmu lainnya. Yang terakhir
muncul geometri baru (non-euclid) dan menyingkirkan geometri euclid (lama).
Dalam periode terakhir, daerah
jelajah matematika makin luas. Beberapa cabang menjadi terlepas dari
induknya dan menjadi otonom. Beberapa di antaranya diserap dalam wadah yang
lebih besar, misalnya analisis telah menggeneralisasi geometri. Pelarian
dan penangkapan kembali ini mengilhami para matematikawan untuk merangkum
kembali seluruh matematika. Awal abad ke-20 dipercayai unifikasi akan
dicapai melalui logika matematis (Bertrand Russell). Ternyata harapan ini
sia-sia dan terlepas.
Motivasi yang melatar-belakangi
perkembangan matematika semula diperkirakan ekonomi. Penelitian lebih
mendalam ternyata tidak demikian. Latar belakang ekonomi benar untuk
matematika praktis yang diterapkan pada perdagangan, asuransi, sains, dan
teknologi. Namun perkembangan matematika dapat dimotivasi oleh agama
(mistik), kuriositas intelektual, bahkan hanya untuk 'makanan' para pakar
matematika. Bagi para pakar matematika 'murni' tidak ada tujuan apa pun
terkecuali untuk mengembangkan teorinya yang rigor, tanpa memikirkan apakah
kelak berguna atau tidak (baca lagi sisa-sisa zaman).
Banyak matematika yang telah
dikembangkan begitu sulit oleh para pekerja matematika, namun hasilnya
terkubur begitu saja. Setiap zaman meninggalkan hasil-hasil yang rinci.
Sebagian hanya menarik bagi sejarawan matematika. Jadi hasil-hasil karya
setiap zaman dapat saja terkubur, tetapi tidak perlu mati. Dan pekerja yang
sudah bersusah-payah ini memang tidak perlu sia-sia.
MODUL 4: Berpikir
Matematis
Kegiatan Belajar 1:
Persyaratan Aksioma dalam Sistem Matematis
Rangkuman
Sejak awal perkembangannya sampai kira-kira abad ke-16, matematika tidak
pernah mengenal kreasi matematika baru, sehingga orang mengatakan
matematika adalah statis. Tetapi pendapat ini menjadi tidak benar sebab
setelah abad ke-17, Descartes menemukan geometri analitik. Lebih-lebih
setelah Bolyai dan Lobachevsky menemukan geometri non-euclid. Ini memicu
tumbuhnya metode postulatsional atau metode aksiomatis pada abad ke-19.
Pemunculan metode ini dipandang sebagai fajar menyingsing perkembangan
matematika. Mulai saat itu, hampir setiap hari dikreasi matematika baru.
Euclid, guru besar di
Aleksandria, Mesir, setelah zaman Aristoteles, menulis buku geometri secara
aksiomatis. Namun perangkat aksioma buatan Euclid masih kurang rigor
(tajam). Kurang rigor-nya ini disebabkan diberinya definisi term-term
penyusun aksioma. Contoh: Melalui dua titik yang berlainan hanya terdapat
satu garis lurus yang menghubungkan keduanya. Kemudian ia mendefinisikan:
titik adalah sesuatu tidak memakan tempat. Pembuka jalan metode aksiomatis
adalah Bolyai dan Lobachevsky dalam buku mereka geometri non-euclid. Tetapi
yang dianggap pelopornya adalah Peano dan More dari Amerika Serikat,
sedangkan Hilbert yang paling berpengaruh.
Sebuah sistem matematika diawali
dengan perangkat aksioma. Sejak awal abad ke-19 dikehendaki adanya
persyaratan baku untuk suatu perangkat aksioma.
Persyaratan ini adalah
konsistensi, independensi, dan kategoris. Agar syarat-syarat rigor
dipenuhi, banyaknya term tak didefinisikan harus diminimalkan.
Perangkat aksioma dikatakan
konsisten jika tidak ada jalan logis yang mendeduksi kontradiksi di antara
proposisi-proposisi yang dihasilkan. Dikatakan independen jika setiap
proposisi dalam perangkat aksioma tidak dapat dideduksi dari
proposisi-proposisi lainnya dalam perangkat itu. Dikatakan kategoris jika
dapat dibentuk isomorphisma dari himpunan-himpunan yang disajikan secara
aktual dari perangkat aksioma.
Kegiatan Belajar 2:
Peran Logika dalam Sistem Matematika
Rangkuman
Pythagoras mengusulkan adanya konsep untuk 'bukti' yang baku dan jelas dan
disetujui oleh semua pakar. Aristoteles menyusun hukum dasar logika yang
pertama kali. Ternyata hukum dasar itu identik dengan perangkat aksioma.
Term tak didefinisikan dalam aksioma disebut kata primitif dalam logika.
Dengan sistem aksioma dalam geometri Euclid, diubah oleh Lobachevsky dan
Bolyai, maka kemudian ada maksud mengembangkan logika modern. Russell dan
Whitehead telah berhasil menyusun membangun hukum dasar logika modern.
Dalam sistemnya mereka memasukkan kata-kata atau, dan, negasi dan
sebagainya. Hukum dasar Aristoteles dipandang hanya berlaku untuk semesta
tertentu. Hukum dasar logika modern bersifat semesta. Artinya semua
matematika dan sains dapat menggunakan hukum dasar logika modern guna
menarik kesimpulan, dan tidak tergantung jenis logika yang digunakan.
Ternyata baik aksioma matematika maupun hukum dasar logika adalah variabel.
Lucasiewics berjaya menyusun sistem logika modern. Keuntungannya tidak
perlu lagi menggunakan tabel-tabel matriks nilai kebenaran untuk setiap
kemungkinan nilai kebenaran komponennya. Dan dapat langsung untuk sebarang
nilai kebenaran komponen-komponennya.
Russell menganggap matematika
adalah cabang logika (logistik), Hilbert memandang logika adalah cabang
matematika (formalis). Brouwer tidak menyetujui kedua-duanya dan mengatakan
setiap keberadaan matematika harus ada jalan mengkonstruksinya
(intuisionis). Ini yang kemudian menjadikan suasana bimbang dan tidak
pasti.
MODUL 5: Sifat
Kebenaran Matematika (Bagian 1)
Kegiatan Belajar 1:
Aksioma dan Proposisi Matematika
Rangkuman
Teori sains empiris, misalnya fisika atau psikologi, dikatakan benar sejauh
teori itu cocok dengan bukti empiris atau kenyataan luar. Matematika tidak
demikian. Kebenaran matematika tidak ada sangkut pautnya dengan bukti
empiris. Kebenaran matematika diperoleh dari makna kata-kata yang
terkandung dalam proposisi yang bersangkutan.
Karena dalam sistem matematika
diawali dengan perangkat aksioma dan teori-teori matematika diturunkan
secara logis (dengan perangkat logika yang telah ditetapkan) dari aksioma,
kebenaran matematika disebut kebenaran kondisional.
Kebenaran perangkat aksioma
bukanlah self-evident truth, dan bukan pula sains empiris paling umum.
Kebenaran matematika adalah kebenaran apriori, sedangkan kebenaran sais
empiris adalah postteori yakni teori itu benar selama masih cocok dengan
fakta aktual, atau sampai ada bukti lain yang menolaknya.
Kegiatan Belajar 2:
Sistem Aksioma Peano sebagai Basis Matematika
Rangkuman
Aksioma Peano adalah sebuah contoh sistem aritmetika postulatsional.
Aksioma Peano sangat mengagumkan. Perangkat aksioma ini terdiri dari 5
postulat dengan definisi rekursif (maju atau mundur) bilangan-bilangan
alam, misalnya 4 = 3´ = (2´ )´ = ((1´ )´ )´ = (((0´ )´ )´ )´ ,. Atau 0´ =
1, 1´ = 2, 2´ = 3, dst. P4 membatasi bahwa setelah bilangan 0 tidak dapat
mundur lagi. Dengan menambahkan definisi jumlah D1(a), (b) dan definisi
kali D2(a) dan (b), maka dapat dibuktikan sifat-sifat operasi assosiatif,
komutatif, dan distributif untuk kedua operasi yang didefinisikan.
Dengan mendefinisikan bilangan
positif, negatif, rasional, dan kompleks dengan cara-cara yang sesuai hanya
dengan mengambil term-term primitif yang termuat dalam aksioma, semua
sistem bilangan memenuhi aksioma. Demikian pula fungsi aljabar seperti
fungsi kontinu, limit, kalkulus dsb. Dengan hasil ini maka dikatakan bahwa
aksioma Peano merupakan basis matematika.
MODUL 6: Sifat
Kebenaran Matematika (Bagian 2)
Kegiatan Belajar 1:
Kebenaran Konsep-konsep dalam Matematika
Rangkuman
Aksioma Peano memuat tiga term tak didefinisikan: '0', 'bilangan', dan
'pengikut' dan 5 buah aksioma. Term-term tak didefinisikan dapat diberi
makna biasa, dan secara teoretis dalam takhingga cara. Tetapi makna biasa
ini harus mengubah kelima aksioma menjadi proposisi-proposisi yang bernilai
benar. Selanjutnya dapat diciptakan definisi kata-kata baru dari term-term
yang telah diberi makna biasa itu. Syaratnya definisi ini harus menjadi
proposisi yang bernilai benar. Dari definisi dan aksioma dalam makna biasa
akan diperoleh teori-teori melalui deduksi logis. Dengan demikian teori
yang telah diperoleh dengan makna biasa ini menjadi sistem matematika yang
letak kebenarannya ada pada definisi-definisi itu.
G. Frege, Russell dan Whitehead
telah secara rinci memberi makna biasa dari term-term tak didefinisikan
Peano dan membuat definisi-definisi dengan teknik lambang logika. 'Bilangan
2' dalam primitif Peano adalah kosong dari arti. Bilangan 2 adalah makna
'biasa'. Bilangan alam 2 (biasa) adalah ciri khas dari koleksi
himpunan-himpunan C terdiri dari objek-objek, yakni n(C) = 2. Bilangan 2
didefinisikan sebagai berikut: "Terdapat objek x dan objek y
sedemikian rupa sehingga (1) x C dan y C, (2) x y, (3) Jika z C adalah
sebarang anggota di C, maka z = x atau z = y" Dari definisi ini kita
dapat menyimpulkan bahwa n(C) = 2 dengan pertolongan logika.
Kegiatan Belajar 2:
Kebenaran Matematika dalam Sains Empiris
Rangkuman
Tiga term primitif Peano adalah '0', 'bilangan', dan 'pengikut', dapat
diinterpretasikan dengan makna biasa dengan banyak cara. Misalnya, primitif
'bilangan' diartikan bilangan alam 0, 1, 2, 3, ... Primitif dalam makna
biasa ini didefinisikan melalui konsep-konsep logika (ada 4 konsep pokok).
Ternyata aksioma-aksioma Peano, melalui deduksi, menjadi
proposisi-proposisi. Selanjutnya jika perlu diteruskan dengan membuat
definisi-definisi non-primitif melalui prinsip-prinsip logika. Dengan cara
ini seluruh teori matematika dapat dideduksi dengan menggunakan
konsep-konsep logika dan jika diperlukan ditambahkan 'aksioma pilihan' dan
'aksioma infinit'. Dari kenyataan ini maka timbullah pemikiran bahwa
matematika adalah cabang logika. Akibat selanjutnya ialah bahwa kebenaran
matematika terletak pada definisi-definisi itu. Inilah letak kebenaran
aksioma Peano dalam makna biasa. Berbeda dengan teori geometri, geometri
dipandang sebagai studi tentang struktur ruang fisik, maka
primitif-primitifnya harus dibangun dengan mengacu pada entitas fisik jenis
tertentu. Jadi, dengan demikian kebenaran teori geometri dalam interpretasi
ini terletak pada persoalan empiris.
Tentang kegunaan matematika
dalam sains empiris, harus dilihat dengan telaah lebih mendalam. Sebagian
terbesar perkembangan sains empiris (IPA dan IPS) telah diperoleh melalui
penerapan terus menerus proposisi-proposisi matematika. Akan tetapi perlu
diingat, bahwa fungsi matematika di sini bukan memprediksi, melainkan
sebagai analisis atau ekspliaktif. Matematika membuka asumsi-asumsi secara
eksplisit atau membuka asersi-asersi yang termuat dalam premis-premis
argumen. Matematika membuka data, yakni, mana yang diketahui dan mana yang
dipersoalkan. Jadi, penalaran matematis dan logis adalah teknik konseptual
membuka perangkat premis-premis yang implisit menjadi premis-premis yang
eksplisit.
MODUL 7: Landasan
Matematika
Kegiatan Belajar 1:
Landasan dan Paradoks dalam Matematika
Rangkuman
Krisis landasan dalam matematika selalu diawali dengan munculnya paradoks
atau antinomi dalam matematika.
Krisis I. Pada abad ke-5 SM,
muncul paradoks bahwa ukuran sama jenis (dalam geometri) adalah proporsional.
Konsekuensi dari paradoks ini menjadikan semua 'teori proporsi' model
Pythagoras dicoret dan dinyatakan salah. Krisis ini tidak segera di atasi
dan baru sekitar 500 tahun kemudian oleh Eudoxus dengan penemuannya
bilangan rasional pada tahun 370 SM.
Krisis II. Pada abad ke-17,
Newton dan Leibniz menemukan kalkulus. Hasil ini sangat diagungkan karena
penerapannya yang gemilang, dengan konsepnya 'infinitesial'. Malangnya,
hasil-hasil penerapannya justru digunakan untuk menjelaskan landasannya.
Krisis ini dapat diatasi pada abad ke-19 oleh Cauchy dengan memperbaiki
konsep kalkulus melalui konsep 'limit'. Dengan aritmetisasi oleh
Wierstrass, krisis landasan II telah diatasi.
Abad ke-19 Cantor menemukan
teori himpunan. Teori ini disambut antusias oleh para matematikawan dan
teori himpunan telah menjadi landasan cabang-cabang matematika. Burali
Forti, Bertrand Russel mengajukan paradoks-paradoks dalam teori himpunan.
Misalnya H = {x | x H}, yakni, H adalah himpunan semua x sedemikian
sehingga x H. Sampai sekarang krisis belum dapat diatasi. Melalui filsafat
(yang selalu mencari sesuatu yang hakiki) dilakukan program-program
mengatasi krisis. Ada tiga kelompok besar yang ingin mengatasi krisis ini,
yang memunculkan tiga aliran: logistis, formalis, dan intuisionis.
Kegiatan Belajar 2:
Macam-macam Aliran dalam Membangun Landasan
Rangkuman
Krisis landasan matematika, terutama yang berlandaskan teori himpunan dan
logika formal, memaksa para matematikawan mencari landasan filsafat yang
ingin mengonstruksi seluruh massa matematika yang besar, sehingga dapat
diperoleh landasan yang kokoh. Mereka terpecah ke dalam tiga aliran besar
filsafat matematika: logistis, intuisionis, dan formalis.
Kaum logistis dengan pimpinan
Bertrand Russell dan Whitehead, menganggap bahwa sebagai konsekuensi dari
programnya, matematika adalah cabang dari logika. Oleh karena itu, seluruh
matematika sejak zaman kuno perlu dikonstruksi kembali ke dalam term-term
logika. Hasil program ini adalah karya monumental "Principia
Mathematica". Dalam buku ini hukum 'excluded middle' dan hukum
'kontradiksi' adalah ekuivalen. Kesulitan timbul salam usaha mereka merakit
beberapa metode kuno untuk menghilangkan aksioma reduksi yang tidak
disukai.
Kaum intuisionis dengan pimpinan
Brouwer, menganggap, sebagai konsekuensi dari programnya, bahwa logika
adalah cabang dari matematika. Matematika haruslah dapat dikonstruksi
seperti bilangan alam dalam sejumlah langkah finit. Mereka menolak hukum
'excluded middle' jika akan diberlakukan untuk langkah infinit. Heyting
membangun perangkat logika-intuisionis dengan lambang-lambang yang
diciptakannya. Kesulitan yang timbul adalah berapa banyak keberadaan
matematika dapat dibangun tanpa tambahan (perangkat logika) yang
diperlukan.
Kaum formalis dengan pimpinan
Hilbert menganggap bahwa matematika, sebagai konsekuensi dari programnya,
adalah sistem lambang formal tanpa makna. Untuk mengonstruksi seluruh
matematika yang telah ada, diperlukan 'teori bukti' untuk menjamin
konsistensinya. Dengan lambang-lambang formal kaum formalis menghasilkan
karya monumentalnya "Grunlagen der Mathematik:", jilid I dan II.
Malangnya, K. Godel, matematikawan Italia menunjukkan bahwa konsistensi
suatu perangkat aksioma karya Hilbert 'tak dapat ditentukan', bahkan
sebelum buku Hilebrt II diterbitkan.
John von Neumann (1903 - 1957)
John von Neumann termasuk salah
satu matematikawan abad 20. Seperti kebanyakan matematikawan yang lain ia
pun berkontribusi penting baik dalam matematika maupun dalam sains. Von
Neumann khususnya tertarik pada permainan strategi dan peluang. Jadi tidak
mengejutkan apabila ia adalah salah seorang yang membuka bidang matematika
baru yang disebut game theory (teori permainan). Dengan menggunakan peluang
yang terlibat dalam peluang strategi dan ia membuat strategi yang menghasilkan
"pemenang" dalam permainan pembuatan keputusan, teori permainan
von Neumann dapat menyelesaikan masalah-masalah dalam ekonomi, sains, dan
strategi militer.
Von Neumann dilahirkan di
Budapest, Hongaria. Ketika berusia 6 tahun, ia mampu melakukan operasi
pembagian seperti 78.463.215: 49.673.235 di luar kepala. Pada usia 8 tahun
ia telah memperoleh master dalam kalkulus dan mempunyai trik tertentu
mengingat dalam sekali pandang terhadap nama, alamat, dan nomor telepon
dalam satu kolom buku telepon. Ketika berusia 23 tahun ia menulis sebuah
buku berjudul Mathematical Foundations of Quantum Mechanics, yang digunakan
dalam pengembangan energi atom.
Pada tahun 1930, von Neumann
hijrah ke Amerika Serikat untuk memangku jabatan guru besar dalam fisika-matematika
pada Universitas Princeton. Ia menjadi berminat dalam penggunaan komputer
berskala besar dan ia salah satu pembangun otak elektronik modern, yang
disebut MANIAC (Mathematical Analyzer, Numerical Integrator and Computer).
Sebagai penasihat selama Perang Dunia II, ia memberi kontribusi dalam
mendisain senjata dan peluru nuklir.
Von Neumann mempunyai banyak
minat intelektual, namun kebanggaan terbesarnya adalah menyelesaikan
masalah. Suatu ketika ia menjadi begitu berminat adalah sebuah masalah
ketika dalam perjalanan ia ingin menelepon istrinya untuk mencari tahu
mengapa ia melakukan perjalanan. Karena kemampuan von Neumann menyelesaikan
masalah, cakrawala matematis kita telah makin luas.
MODUL 8: Geometri
Aksiomatis dan Empiris
Kegiatan Belajar 1:
Geometri Aksiomatis
Rangkuman
Kebenaran hipotesis atau teorema dalam sains empiris hanya untuk 'sementara
waktu', atau 'sampai ditemukan ketidakcocokannya dengan data empiris baru'.
Sebaliknya kebenaran dalam matematika, sekali dibangun 'untuk selama-lamanya'.
Kebenaran matematika dapat dipahami melalui analisis metode bagaimana
matematika itu dibangun. Metode demikian adalah demonstrasi-matematis yang
terdiri dari deduksi logis dari aksioma atau suatu teorema yang dideduksi
dari teorema-teorema yang telah terlebih dahulu dibuktikan kebenarannya.
Agar langkah mundur ini tidak berkesudahan, maka harus ada proposisi yang
diterima tanpa bukti, yang disebut perangkat aksioma atau postulat.
Dalam geometri khususnya
ternyata perangkat aksioma Euclid tidak cukup, artinya ada teorema-teorema
yang tidak dapat dibuktikan secara langsung melalui deduksi logis
postulat-postulatnya. Dalam buku Euclid, suatu teorema kadang-kadang
dibuktikan dengan menggunakan intuisi hubungan geometri, misalnya gambar
dan pengalaman dengan benda tegar. Ketidak-cukupan ini oleh Hilbert
ditambah dengan postulat 'terletak' dan 'antara'. Postulat kesejajaran
Euclid terbukti tidak dapat dideduksi dari postulat-postulat lainnya. Hal
ini menggelitik para pakar untuk 'mengganti' postulat ini dengan postulat
yang lain. Hasilnya, Lobachevsky dan Bolyai menemukan geometri hiperbolik
sedangkan Riemann menemukan geometri eliptik, kedua-duanya dikategorikan
sebagai geometri non-euclid.
Kepastian matematis dikatakan
relatif terhadap perangkat aksioma yang mendasarinya tempat diturunkannya
suatu teorema, dan dikatakan perlu karena teorema-teorema sebenarnya
hanyalah secara implisit telah terkandung dalam perangkat postulat itu.
Oleh karena perangkat postulat tidak mengacu kepada data empiris, maka sebagai
konsekuensinya, teorema-teorema pun tidak mengacu kepada data empiris. Dan
Anda juga tahu bahwa kebenaran suatu aksioma adalah apriori, sebuah
kebenaran yang diperoleh dari kata-kata yang dikandungnya.
Kegiatan Belajar 2:
Geometri Empiris
Rangkuman
Geometri murni adalah geometri yang dikembangkan melalui metode formal
murni (aksiomatis). Geometri ini sama sekali tidak berkaitan dengan
material fisik khusus. Postulat-postulat ditetapkan dan teorema-teorema
diperoleh melalui deduksi logis menggunakan logika formal, dan analisis
konsep, kosong dari arti. Kebenarannya adalah persis (pasti dan perlu).
Adanya nama-nama seperti titik, garis, dan sebagainya. yang sama dengan
nama-nama fisik hanyalah kebetulan saja.
Geometri dalam sejarah
perkembangannya memang merupakan generalisasi dari pengalaman empiris dalam
berbagai praktik keteknikan sederhana. Oleh karena itu, juga sering disebut
sebagai teori struktur ruang fisik, atau geometri fisik. Geometri fisik
dapat diperoleh melalui interpretasi semantik, yakni, pemberian makna
khusus, designatum, kepada primitif-primitif yang harus memenuhi semua
perangkat aksioma dalam geometri murni. Akibatnya semua geometri murni
menjadi teorema yang bermakna - pernyataan fisik dan sepenuhnya terhadap
teorema-teorema di dalamnya dapat dimunculkan sifat benar-salah. Jadi
interpretasi semantik kepada primitif ke dalam makna khusus ini akan
mengubah geometri murni menjadi geometri fisik. Term 'segitiga' adalah term
dalam geometri murni, sedangkan term 'daerah segitiga' adalah term dalam
geometri fisik. Term-term 'persegi kertas', 'persegi kerangka' adalah
term-term dalam geometri fisik. Demikian pula luas daerah lingkaran adalah
kali kuadrat jari-jari adalah teorema dalam geometri fisik.
Jika geometri fisik digunakan
menyelesaikan masalah yang terkait dengan pengalaman sehari-hari dan
kemudian ada ketidakcocokan, maka ketidakcocokan ini harus dicari dari
situasi fisiknya. Masalah ini dinamakan konvensi Poincare. Penalarannya
adalah sebagai berikut. Jika geometrik fisik G akan diuji kebenarannya,
maka pengujian itu tentu melibatkan benda (sains) tertentu P (misalnya
pengukuran atau observasi sistematik). Hasil ujinya adalah konfirmasi G-P,
dan bukan hanya G sendiri. Jika hasil amatan ternyata tidak cocok, maka
yang perlu divalidasi adalah P dan bukan G.
Apakah ruang fisik berstruktur
euclid atau non-euclid, hanyalah masalah konvensi saja. Poincare selalu
mengambil geometri euclid sebagai struktur ruang fisik, tetapi ketika
Einstein mengambangkan teori relativitas umumnya, ia mengambil
geometri-eliptik (non-euclid) sebagai struktur ruang fisik.
MODUL 9: Matematika
sebagai Metode dan Seni
Kegiatan Belajar 1:
Matematika sebagai Metode
Rangkuman
Walaupun tidak sempurna, matematika aksiomatis dibuka oleh geometri Euclid
pada abad ketiga. Peano membuat aksioma yang mula-mulanya untuk bilangan
alam. Aksioma ini berbuah lebat. Hilbert menyempurnakan aksioma Euclid.
Perangkat aksioma harus memenuhi syarat tertentu antara lain: (a) terdiri
dari kata-kata yang kosong dari arti (primitif), (ii) banyaknya primitif
harus minimal, (iii) perangkat primitif harus konsisten, dan independen.
Teorema-teorema dideduksi secara logis dengan menggunakan logika formal.
Dengan metode langkah-langkah seperti itu maka muncul matematika baru yang
disebut sistem matematika. Karena itu geometri dapat dipandang sebagai
sebuah metode (metode membangun karya matematis).
Dalam geometri murni, term-term
primitif kosong dari arti. Teorema-teorema dideduksi secara logis
menggunakan logika formal. Teorema-teorema pun kosong dari arti. Kebenaran
teorema-teorema ini adalah kondisional.
Dalam geometri fisik atau orang
awam menyebutnya geometri empiris, perangkat aksioma diambil dari geometri
murni dengan cara memberi makna fisik untuk term-term primitif.
Teorema-teorema kemudian juga mengandung makna fisik. Sekarang perangkat
aksioma dan teorema-teorema dalam geometri fisik bernilai benar.
Untuk pengembangan
teorema-teorema matematikawan memiliki daya imajinasi, abstraksi,
inspirasi, dan kreativitas, yang pada umumnya juga berdasarkan pengalaman.
Kegiatan Belajar 2:
Matematika adalah Seni Keindahan
Rangkuman
Sekarang kita kembali ke pertanyaan awal kita. Apakah matematika itu? Kita
mampu mengatakan bahwa dalam nurani manusia, suatu kehidupan, selalu
berubah, entitas eksklusif, terdapat unsur-unsur yang menghasilkan seni dan
pengetahuan. Jika kita pelajari apa yang mereka hasilkan, kita dapati bahwa
yang dihasilkan itu disebut keindahan, dan memuat unsur-unsur yang dapat
kita pandang baik dari sisi dinamika kehidupan sebagai unsur-unsur dalam
suatu struktur jika dipandang oleh seniman, atau kita dapat melihat
hasilnya dari sisi statis, sebagai pengetahuan, dan menamakannya: ritme
(irama) order (urutan), disain (rancang bangun), dan harmoni (laras).
Matematika adalah, pada sisi statis, suatu kreasi ritme, order, disain, dan
harmoni baru, dan pada sisi pengetahuan, adalah studi sistematik dari
berbagai ritme, orde, disain, dan harmoni. Kita dapat meringkasnya ke dalam
pernyataan bahwa matematika adalah, pada studi kualitatif dari struktur
keindahan, dan pada sisi lain adalah kreator dari bentuk-bentuk artistik
baru dari keindahan, Matematikawan adalah sekaligus kreator dan pengkritik,
tentu saja, tidak selalu pada orang yang sama. Yang sangat terkenal sebagai
kreator besar adalah Sylvester, Kleine, dan Poincare, dan mereka ini tidak
terlalu tertarik dari sisi kritik. Sedangkan dari sisi kritik terkenal
nama-nama kritikus unggul Cayley, Hilbert, dan Picard. Sylvester tidak
pernah tahu bahan apa yang akan diberikan dalam perkuliahannya. Kleine
dalam situasi putus asa terhadap Hilbert dengan kekhilafannya mengenai
kreasi intuitif, dengan menggunakan sebarang medium untuk ekspresi yang
akan memenuhi angan-angannya. Poincare selalu menyerang tentang
pekerjaannya mengenai intuisi mata. Namun dalam semua matematikawan besar
mulai dari Pythagoras sampai Poincare kita dapati karakter seniman yang
dikombinasikan dalam berbagai derajat dengan karakter kesarjanaan.
Kita dapat juga menjawab
pertanyaan yang kedua: Mengapa matematika itu hanya menarik sedikit orang?
Mary Austin dalam bukunya "Everyman's Genius" mengajak semua para
artis yang kreatif untuk belajar matematika tinggi, hal yang sama
dianjurkan oleh Havelock Ellis. Bukan semata-mata tentang keterlibatan
sifat kesarjanaan, bukan keingintahuan besar yang dipromosikan, tetapi
untuk imajinasi tingkat tinggi yang diperlukan, untuk membangun pendalaman
artistik yang tajam. Jika, misalnya, meskipun orang hanya belajar dalam
bidang-bidang bilangan aljabar yang superkuadratik, yang mempunyai grup
berorder 2N, akan mempelajari sesuatu yang baru tentang keindahan. Jika ia
hanya belajar bidang-bidang bangun aljabar simetrik ia akan dipercantik
oleh keindahan yang elegan. Aljabar determinan adalah kebun yang elok,
terbuka pada setiap sisinya, seperti dapat dilihat dalam risalat Metzler.
Jika orang mendapat teorema baru dalam geometri segitiga, ia akan terkejut
dengan keindahannya. Hanya mengetahui transversal dari suatu segitiga,
misalnya, dengan mengetahui titik-titik Brocard dan lingkaran Brocard,
lingkaran Lemoine, lingkaran titik-sembilan dari Feuerbach,
lingkaran-lingkaran Tucker, garis-garis isotomik, garis-garis isogonal dan
lain-lain bangun, akan membawa keindahan baru pada imajinasi. Dalam teori
bilangan teorema terakhir Fermat menunggu buktinya, dan akan mendapat
mahkota kemuliaan bagi seseorang yang memberikan bukti. Aljabar-aljabar
divisi Dickson menghiasi setiap realm (dunia akal) yang menarik dan dapat
menguntungkan bagi teorema-teorema baru. Daftar demikian dapat diperpanjang
tanpa akhir.
Banyak matematikawan telah
menjadi seniman dengan cara lain-lain. Ada yang menulis puisi, lainnya
mengomposisi musik. Inkuiri yang dipimpin oleh kegiatan matematikawan
beberapa tahun lampau didapati bahwa kebanyakan dari mereka dengan serius
tertarik dalam suatu phase seni. Dan kebanyakan dari mereka dilaporkan
bahwa penemuan-penemuan atau kreasi-kreasi mereka datang tepat seperti yang
dialami para seniman mendapat inspirasi dengan cara lain. Matematikawan
adalah pemimpi, dan dalam impiannya yang ilusif datang dan pergi; timbul
dan tenggelam, dan lenyap; menggelinding kembali pada momen yang tidak
diharapkan, tetapi terlepas dari genggaman yang akan menahannya; muncul
lagi dalam tarian yang janggal, dan bermain dalam warna fantasi; lenyap;
dan suatu hari melangkah pergi menggandeng tangan yang telah menantinya,
dengan bilangan ideal Kummer sebagai hadiah. Matematikawan bermimpi dan
dalam kekisruhannya yang kalut, bunga yang jujur dalam bentuk fantasi mekar
dan hilang; angin sepoi-sepoi menggerayanginya dengan kilasan burung-burung
masa kini dan seterusnya; dan matematika baru telah lahir, aljabar
asosiatif linear oleh Benjamin Peirce. Inilah tanah yang kaya, dan kota,
seperti "Metropolis of Tomorrow"nya Hugh Ferris, yang dalam
kata-kata Tennyson, "membangun musik, maka yang sesungguhnya sama
sekali tidak pernah membangun, dan karena itu selalu membangun".
Inilah dunia yang mengetahui tidak ada hukum kedua dari termodinamika,
dunia yang menjamin bagi orang-orang yang memang dasarnya kreatif,
keabadian waktunya, dan juga ketidakkekalannya.
|
