MKDU4221 PENDIDIKAN AGAMA ISLAM

Label: - Sabtu, 24 September 2011

Sebagai Mahasiswa UT, saya ingin berbagi modul dengan mahasiswa-mahasiswa yang lain. Di bawah ini saya kembali menyajikan rangkuman modul MKDU4221 (Pendidikan Agama Islam). Semoga Bermanfaat....

MKDU4221
PENDIDIKAN AGAMA ISLAM
Ali Nurdin
Syaiful Mikdar
Wawan Suharmawan
3 sks / modul 1-9: ill.; 21 cm / Edisi 1
ISBN : 9790113077
DDC : 297
Copyright (BMP) © Jakarta: Universitas Terbuka, 2009
Mata kuliah ini memberikan pengetahuan pemahaman dan penghayatan tentang: aspek yang berhubungan dengan keadaan mahluk, pelaksanaan ajaran Islam, peningkatan keimanan terhadap khaliq, kerasulan dan melaksanakan syariat Islam.
Tinjauan Mata Kuliah
Materi Pendidikan Agama Islam secara substansial merupakan salah satu Mata kuliah Berkehidupan Bermasyarakat (MBB) atau disebut juga sebagai mata kuliah Pengembangan Kepribadian (MPK) dengan beban studi 3 sks (Surat Keputusan Direktur Jenderal Pendidikan Tinggi No. 43 dan 44/Dikti/Kep/2006).
Pembahasan materi mata kuliah ini lebih mengarah kepada pemahaman ajaran agama islam yang menuntut untuk diterapkan dalam berkiprah sebagai warga negara yang religius dalam kondisi bangsa yang pluralistik yang bersifat universal. Mata kuliah ini membahas tentang: Tuhan Yang Maha Esa dan Ketuhanan, Manusia, Masyarakat, Hukum, Moral, Ilmu Pengetahuan Teknologi dan Seni, Budaya, Politik dan Kerukunan antar Umat Beragama.
Secara Umum setelah mahasiswa mempelajari materi mata kuliah ini diharapkan mampu menerapkan nilai-nilai dasar ajaran agama islam untuk menumbuhkan kerukunan antar umat beragama kehidupan secara individual, bermasyarakat, berbangsa dan bernegara.
Secara Khusus setelah mahasiswa mempelajari materi mata kuliah ini diharapkan mampu:
  1. menjelaskan tentang Ketuhanan Yang Maha Esa;
  2. menjelaskan hakikat, martabat dan tanggung jawab manusia;
  3. menjelaskan pengertian masyarakat beradab, peran umat beragama, HAM dan demokrasi;
  4. menumbuhkan kesadaran untuk taat terhadap hukum dan fungsi agama;
  5. menjelaskan pengertian moral dan akhlak mulia;
  6. menjelaskan budaya akademik, etos kerja, sikap terbuka dan keadilan;
  7. menjelaskan peran IPTEKS dalam IMTAQ;
  8. menjelaskan peran agama dalam kehidupan berpolitik untuk mewujudkan persatuan dan kesatuan bangsa, nilai-nilai ajaran agama islam sebagai rahmat Tuhan YME; dan
  9. mewujudkan kerukunan antar umat beragama dalam kehidupan pluralistik di Indonesia.
Materi mata kuliah ini disajikan dalam sembilan modul dengan rincian sebagai berikut:
Modul 1 : Tuhan Yang Maha Esa dan Ketuhanan
Modul 2 : Manusia
Modul 3 : Masyarakat
Modul 4 : Hukum
Modul 5 : Moral
Modul 6 : Ilmu Pengetahuan, Teknologi, dan Seni
Modul 7 : Budaya
Modul 8 : Politik
Modul 9 : Kerukunan Antar Umat Beragama Selanjutnya agar Anda berhasil dalam mempelajari materi yang tersaji pada mata kuliah ini, perhatikan beberapa saran berikut:
  1. pelajari materi setiap modul secara bertahap dan berulang-ulang sampai pada tingkat penguasaan paling sedikit 80%;
  2. kerjakan setiap latihan dengan seksama dan sungguh-sungguh;
  3. diskusikan bagian-bagian yang sulit Anda pahami dengan teman sejawat; dan
  4. tanyakan penyelesaian hal yang sulit kepada orang lain yang lebih memahami.


MODUL 1
TUHAN YANG MAHA ESA DAN KETUHANAN
Kegiatan Belajar 1: Keimanan dan Ketakwaan
Rangkuman
Iman merupakan asas yang menentukan ragam kepribadian manusia. Selama ini orang memahami bahwa iman artinya kepercayaan atau sikap batin, yaitu mempercayai adanya Allah, Malaikat, Rasul, Kitab, Hari Akhir (kiamat), Takdir baik dan buruk. Pengertian tersebut jika digandengkan dengan hadis Nabi yaitu aqdun bil qalbi wa ikraarun bil lisaani wa amalun bil arkani maka pengertiannya akan lebih operasional. Jika didefinisikan bahwa iman adalah kepribadian yang mencerminkan suatu keterpaduan antara kalbu, ucapan dan perilaku menurut ketentuan Allah, yang disampaikan oleh Malaikat kepada Nabi Muhammad. Ketentuan Allah tersebut dibukukan dalam bentuk Kitab yaitu kumpulan wahyu, yang dikonkretkan dalam Al-quran guna mencapai tujuan yang hakiki yaitu bahagia dalam hidup, baik jangka pendek maupun jangka panjang. Isi kitab tersebut adalah ketentuan tentang nilai-nilai kehidupan yang baik dan yang buruk berdasarkan parameter dari Allah.
Ada tiga aspek iman yaitu pengetahuan, kemauan dan kemampuan. Orang yang beriman kepada Allah adalah yang memiliki pengetahuan, kemauan dan kemampuan untuk hidup dengan ajaran Al-quran seperti yang dicontohkan oleh Rasulullah. Oleh karena itu, prasyarat untuk mencapai iman adalah memahami kandungan Al-quran. Dengan demikian strategi untuk menumbuhkembangkan keimanan kepada Allah adalah menumbuhkembangkan kegiatan, belajar dan mengajar Al-quran secara akademik. Tujuan belajar dan mengajar adalah bukan sekedar mampu membunyikan hurufnya, melainkan sampai memahami makna yang terkandung di dalamnya.
Kuat lemahnya iman seseorang sangat tergantung pada penguasaannya terhadap Al-quran. Kekeliruan dan kedangkalan dalam memahami makna Al-quran merupakan faktor yang membuat dangkal atau keliru dalam beriman. Untuk itu belajar dan mengajar Al-quran harus dilakukan secara terjadwal dan berkelanjutan. Belajar Al-quran tidak hanya di waktu kecil, namun harus berkelanjutan sampai ajal tiba.
Kegiatan Belajar 2: Filsafat Ketuhanan
Rangkuman
Konsep tentang Ketuhanan Yang Maha Esa, menurut pemikiran manusia, berbeda dengan konsep Ketuhanan Yang Maha Esa menurut ajaran Islam. Konsep Ketuhanan menurut pemikiran manusia baik deisme, panteisme, maupun eklektisme, tidak memberikan tempat bagi ajaran Allah dalam kehidupan, dalam arti ajaran Allah tidak fungsional. Paham panteisme meyakini Tuhan berperan, namun yang berperan adalah Zat-Nya, bukan ajaran-Nya. Sedangkan konsep ketuhanan dalam Islam justru intinya adalah konsep ketuhanan secara fungsional. Maksudnya, fokus dari konsep ketuhanan dalam Islam adalah bagaimana memerankan ajaran Allah dalam memanfaatkan ciptaan-Nya.
Segala yang ada di alam semesta ini diciptakan oleh Yang Maha Pencipta (Khalik). Manusia yang diberi akal, ketika memperhatikan gejala dan fenomena alam akan mengambil kesimpulan bahwa alam yang menakjubkan ini tentulah diciptakan oleh Yang Maha Agung. Akal yang logis juga memahami bahwa yang dicipta tidak sama dengan Pencipta.
Makhluk, kecuali ada yang nyata dapat diketahui dengan pancaindra, ada pula yang immateri dan tidak dapat dijangkau oleh indera manusia. Keyakinan akan adanya makhluk ghaib itu, akan dapat menyampaikan kepada keimanan, juga terhadap Yang Maha Ghaib, yaitu Khalik Pencipta alam semesta ini.
MODUL 2
HAKIKAT, MARTABAT, DAN TANGGUNG JAWAB MANUSIA
Kegiatan Belajar 1: Hakikat Manus
Rangkuman
Zat yang bersifat lahir dan gaib itu menentukan postur manusia sebagai makhluk yang paling sempurna. Manusia mempunyai anggota badan, khususnya otak dan jantung yang berfungsi sebagai mekanisme biologi, yaitu seperangkat subsistem di dalam sistem tubuh manusia untuk menunjukkan keberadaannya (eksistensinya).
Susunan anggota badan manusia (fisik) sebenarnya sangat kompleks, tidak hanya terdiri dari otak dan jantung saja, yang masing-masing anggota badan satu sama lain dihubungkan melalui susunan syaraf yang sangat kompleks pula. Keadaan itu pun masih menggambarkan manusia yang kurang lengkap, karena kelengkapan manusia tidak hanya dari wujud fisiknya saja, akan tetapi juga dari kenyataan nonfisik yang justru tidak dimiliki oleh makhluk lain. Seperti ruh dan jiwa yang memerankan adanya proses berpikir, merasa, bersikap dan berserah diri serta mengabdi yang merupakan mekanisme, kejiwaan manusia sebagai makhluk Allah.
Kedua mekanisme yang terdapat pada manusia, yaitu mekanisme biologi yang berpusat pada jantung (sebagai pusat hidup) dan mekanisme kejiwaan yang berpusat pada otak (otak sebagai lembaga pikir, rasa, dan sikap sebagai pusat kehidupan).
Gambaran bahwa manusia merupakan makhluk yang sempurna, mungkin dapat dilihat dari kemampuannya untuk menentukan tujuan hidup. Tujuan hidup itu berdasarkan satu tata nilai yang memberikan corak pada seluruh kehidupan manusia yang terdiri dari proses mengetahui, mengalami, memikirkan, merasakan, dan membentuk sikap tertentu yang akhirnya tersusun pada suatu pola perilaku yang dapat menghasilkan karya manusia, baik yang bersifat fisik maupun bersifat nonfisik. Tinggi rendahnya derajat kemampuan, sempit luasnya cakupan tergantung pada kapasitas otak (Q.S. Al-Mu'min (40) : 35), melalui pusat susunan syaraf (terletak pada sumsum tulang belakang) sehingga memungkinkan seluruh anggota badan berfungsi dalam rangka pencapaian cita-cita. Cita-cita tersebut sering kali diistilahkan dengan akhlakul karimah atau perilaku yang baik.
Kegiatan Belajar 2: Martabat Manusia
Rangkuman
Manusia ialah makhluk yang utama dan terutama di antara semua makhluk yang ada. Keutamaan manusia dapat dilihat dengan adanya potensi-potensi yang dimiliki oleh manusia, yang tidak terdapat pada makhluk lain. Dengan kelebihan itu manusia dijadikan sebagai khalifah Allah di bumi.
Kedudukan manusia sebagai khalifah Allah inilah, yang menjadikan mereka mempunyai sejumlah hak dan kewajiban. Hak di sini adalah suatu imbalan dari kewajiban-kewajiban yang telah ditunaikannya. Kewajiban dalam konteks dengan hukum Islam, berarti pekerjaan yang akan mendapat sanksi hukum apabila ditinggalkan.
Kegiatan Belajar 3: Tanggung Jawab Manusia
Rangkuman
Menurut kodratnya, manusia adalah makhluk yang paling mulia. Sesuai dengan namanya manusia adalah makhluk yang mempunyai naluri berperasaan, berkelompok, dan berpribadi. Selain itu manusia memiliki sifat pelupa atau cenderung memilih berbuat kesalahan. Dari sifat-sifatnya itu posisi manusia akan berbalik menjadi makhluk yang paling hina, bahkan lebih hina dari binatang.
Manusia diciptakan untuk mengelola dan memanfaatkan alam untuk mencapai kehidupan materi yang sejahtera dan bahagia di dunia, sekaligus dengan demikian ia dapat melaksanakan tugas beribadah kepada Pencipta untuk mencapai kebahagiaan immateri di akhirat kelak. Fungsi ganda manusia itu dikenal dalam istilah agama sebagai fungsi kekhalifahan dan kehambaan (untuk mengabdi dan beribadah)
MODUL 3
MASYARAKAT BERADAB, PERAN UMAT BERAGAMA, HAK ASASI MANUSIA DAN DEMOKRASI
Kegiatan Belajar 1: Masyarakat Beradab dan Sejahtera
Rangkuman
Masyarakat adalah sejumlah individu yang hidup bersama dalam suatu wilayah tertentu, bergaul dalam jangka waktu yang lama sehingga menimbulkan kesadaran pada diri setiap anggotanya sebagai suatu kesatuan. Asal usul pembentukan masyarakat bermula dari fitrah manusia sebagai makhluk sosial yang senantiasa membutuhkan orang lain. Dari fitrah ini kemudian mereka berinteraksi satu sama lain dalam jangka waktu yang lama sehingga menimbulkan hubungan sosial yang pada gilirannya menumbuhkan kesadaran akan kesatuan. Untuk menjaga ketertiban daripada hubungan sosial itu, maka dibuatlah sebuah peraturan.
Dalam perkembangan berikutnya,seiring dengan berjumlahnya individu yang menjadi anggota tersebut dan perkembangan kebudayaan, masyarakat berkembang menjadi sesuatu yang kompleks. Maka muncullah lembaga sosial, kelompok sosial, kaidah-kaidah sosial sebagai struktur masyarakat dan proses sosial dan perubahan sosial sebagai dinamika masyarakat. Atas dasar itu, para ahli sosiologi menjelaskan masyarakat dari dua sudut: struktur dan dinamika.
Masyarakat beradab dan sejahtera dapat dikonseptualisasikan sebagai civil society atau masyarakat madani. Meskipun memeliki makna dan sejarah sendiri, tetapi keduanya, civil society dan masyarakat madani merujuk pada semangat yang sama sebagai sebuah masyarakat yang adil, terbuka, demokratis, sejahtera, dengan kesadaran ketuhanan yang tinggi yang diimplementasikan dalam kehidupan sosial.
Prinsip masyarakat beradab dan sejahtera (masyarakat madani) adalah keadilan sosial, egalitarianisme, pluralisme, supremasi hukum, dan pengawasan sosial. Keadilan sosial adalah tindakan adil terhadap setiap orang dan membebaskan segala penindasan. Egalitarianisme adalah kesamaan tanpa diskriminasi baik etnis, agama, suku, dll. Pluralisme adalah sikap menghormati kemajemukan dengan menerimanya secara tulus sebagai sebuah anugerah dan kebajikan. Supremasi hukum adalah menempatkan hukum di atas segalanya dan menetapkannya tanpa memandang “atas” dan “bawah”.
Kegiatan Belajar 2: Peran Umat Beragama dalam Mewujudkan Masyarakat Beradab dan Sejahtera
Rangkuman
Bangsa Indonesia adalah bangsa yang plural di mana bangsa ini terdiri dari pelbagai macam suku, bahasa, etnis, agama, dll. meskipun plural, bangsa ini terikat oleh kesatuan kebangsaan akibat pengalaman yang sama: penjajahan yang pahit dan getir. Kesatuan kebangsaan itu dideklarasikan melalui Sumpah Pemuda 1928 yang menyatakan ikrar: satu nusa, satu bangsa, dan satu bahasa: Indonesia. Kesatuan kebangsaan momentum historisnya ada pada Pancasila ketika ia dijadikan sebagai falsafah dan ideologi negara. Jika dibandingkan, ia sama kedudukannya dengan Piagam Madinah. Keduanya, Pancasila dan Piagam Madinah merupakan platform bersama semua kelompok yang ada untuk mewujudkan cita-cita bersama, yakni masyarakat madani.
Salah satu pluralitas bangsa Indonesia adalah agama. Karena itu peran umat beragama dalam mewujudkan masyarakat madani sangat penting. Peran itu dapat dilakukan, antara lain, melalui dialog untuk mengikis kecurigaan dan menumbuhkan saling pengertian, melakukan studi-studi agama, menumbuhkan kesadaran pluralisme, dan menumbuhkan kesadaran untuk bersama-sama mewujudkan masyarakat madani.
Kegiatan Belajar 3: Hak Asasi Manusia dan Demokrasi
Rangkuman
Hak Asasi Manusia (HAM) adalah wewenang manusia yang bersifat dasar sebagai manusia untuk mengerjakan, meninggalkan, memiliki, mempergunakan atau menuntut sesuatu baik yang bersifat materi maupun immateri. Secara historis, pandangan terhadap kemanusiaan di Barat bermula dari para pemikir Yunani Kuno yang menggagas humanisme. Pandangan humanisme, kemudian dipertegas kembali pada zaman Renaissance. Dari situ kemudian muncul pelbagai kesepakatan nasional maupun internasional mengenai penghormatan hak-hak asasi manusia. Puncaknya adalah ketika Perserikatan Bangsa-Bangsa mengeluarkan Declaration of Human Right, disusul oleh ketentuan-ketentuan lain untuk melengkapi naskah tersebut. Secara garis besar, hak asasi manusia berisi hak-hak dasar manusia yang harus dilindungi yang meliputi hak hidup, hak kebebasan, hak persamaan, hak mendapatkan keadilan, dll.
Jauh sebelum Barat mengonseptualisasikan hak asasi manusia, terutama, sejak masa Renaissance, Islam yang dibawa oleh Rasulullah telah mendasarkan hak asasi manusia dalam kitab sucinya. Beberapa ayat suci al-Qur’an banyak mengonfirmasi mengenai hak-hak tersebut: hak kebebasan, hak mendapat keadilan, hak kebebasan, hak mendapatkan keamanan, dll. Puncak komitmen terhadap hak asasi manusia dinyatakan dalam peristiwa haji Wada di mana Rasulullah berpesan mengenai hak hidup, hak perlindungan harta, dan hak kehormatan.
Sama halnya dengan hak asasi manusia, demokrasi yang berarti pemerintahan dari rakyat, oleh rakyat dan untuk rakyat, secara historis telah ada sejak zaman Yunani Kuno sebagai respons terhadap pemerintahan otoriter yang tidak menutup partisipasi rakyat dalam setiap keputusan-keputusan publik. Melalui sejarah yang panjang, sekarang demokrasi dipandang sebagai sistem pemerintahan terbaik yang harus dianut oleh semua negara untuk kebaikan rakyat yang direalisasikan melalui hak asasi manusia. Hak asasi manusia hanya bisa diwujudkan dalam suatu sistem yang demokrasi di mana semua warga memiliki hak yang sama untuk berpartisipasi dalam penyelenggaraan berbangsa dan bernegara.
Sama halnya dengan hak asasi manusia, prinsip-prinsip demokrasi seperti kebebasan, persamaan, dll. terdapat juga dalam Islam. Beberapa ayat al-Qur’an mengonfirmasi prinsip-prinsip tersebut. Selain itu juga, praktik Rasulullah dalam memimpin Madinah menunjukkan sikapnya yang demokratis. Faktanya adalah kesepakatan Piagam Madinah yang lahir dari ruang kebebasan dan persamaan serta penghormatan hak-hak asasi manusia.

MODUL 4
HUKUM
Kegiatan Belajar 1: Menumbuhkan Kesadaran untuk Taat terhadap Hukum Allah SWT
Rangkuman
Para ulama mendefinisikan hukum syari’at/hukum Islam adalah seperangkat aturan yang berasal dari pembuat syari’at (Allah SWT) yang berhubungan dengan perbuatan manusia, yang menuntut agar dilakukan suatu perintah atau ditinggalkan suatu larangan atau yang memberikan pilihan antara mengerjakan atau meninggalkan.
Secara garis besar hukum Islam terbagi menjadi lima macam: Pertama, Wajib; yaitu suatu perbuatan apabila dikerjakan oleh seseorang, maka orang yang mengerjakannya akan mendapat pahala dan apabila perbuatan itu ditinggalkan maka akan mendapat siksa. Kedua, Sunnah (mandub), yaitu perbuatan apabila dikerjakan maka orang yang mengerjakan akan mendapat pahala dan apabila ditinggalkan maka orang yang meninggalkan tersebut tidak mendapat siksa.
Hukum yang ketiga adalah haram, yaitu segala perbuatan yang apabila perbuatan itu ditinggalkan akan mendapat pahala sementara apabila dikerjakan maka orang tersebut akan mendapat siksa. Yang keempat adalah makruh, yaitu satu perbuatan disebut makruh apabila perbuatan tersebut ditinggalkan maka orang yang meninggalkan mendapat pahala dan apabila dikerjakan maka orang tersebut tidak mendapat siksa. Yang kelima adalah mubah yaitu suatu perbuatan yang apabila dikerjakan orang yang mengerjakan tidak mendapat pahala dan apabila ditinggalkan tidak berdosa.
Sementara prinsip-prinsip hukum dalam Islam oleh para ulama dijelaskan sebanyak tujuh prinsip. Ketujuh prinsip tersebut adalah Prinsip Tauhid, Prinsip Keadilan, Prinsip Amar Makruf Nahi Munkar, Prinsip al-Hurriyah (Kebebasan dan Kemerdekaan), Prinsip Musawah (Persamaan/Egaliter), Prinsip ta’awun (Tolong-menolong), Prinsip Tasamuh (Toleransi).
Kegiatan Belajar 2: Fungsi Profetik Agama (Kerasulan Nabi Muhammad SAW) dalam Hukum Islam
Rangkuman
Petunjuk Allah SWT dalam al-Qur’an hanya dapat dilaksanakan dengan syarat mengikuti ajaran Rasulullah SAW. Inilah yang kemudian disebut dengan sunnah Nabi SAW atau hadits. Secara sederhana diartikan dengan segala perkataan, perbuatan dan ketetapan Nabi SAW.
Urgensi sunnah Nabi SAW dalam hukum Islam ditegaskan dengan beberapa argumen, di antaranya adalah:
  1. Iman. Salah satu konsekuensi beriman kepada Allah SWT adalah menerima segala sesuatu yang bersumber dari para utusan-Nya (khususnya Nabi Muhammad SAW).
  2. Al-Qur’an. Di dalam al-Qur’an banyak ayat yang menjelaskan kewajiban taat kepada Rasulullah SAW.
  3. Di antara argumen tentang posisi sunnah sebagai sumber hukum dalam Islam dijelaskan sendiri oleh Nabi Muhammad SAW dalam beberapa haditsnya.
  4. Di antara argumen tentang posisi sunnah sebagai sumber hukum Islam adalah berdasarkan konsensus umat Islam.
  5. Al-Qur’an yang bersisi petunjuk dari Allah secara umum masih bersifat global, sehingga perlu ada penjelasan. Sekiranya tidak ada Hadits Nabi SAW maka ajaran al-Qur’an tidak dapat dilaksanakan secara baik.
Posisi sunnah Nabi SAW terhadap al-Qur’an sangat penting di antaranya adalah untuk menguatkan hukum yang terdapat dalam al-Qur’an, menjelaskan apa yang masih global dalam al-Qur’an, bahkan menetapkan hukum secara mandiri yang tidak terkait langsung dengan al-Qur’an.

MODUL 5
AGAMA SEBAGAI SUMBER MORAL DAN AKHLAK MULIA DALAM KEHIDUPAN
Kegiatan Belajar 1: Agama sebagai Sumber Moral
Rangkuman
Agama dalam bahasa Indonesia, religion dalam bahasa Inggris, dan di dalam bahasa Arab merupakan sistem kepercayaan yang meliputi tata cara peribadatan hubungan manusia dengan Sang Mutlak, hubungan manusia dengan manusia, dan hubungan manusia dengan alam lainnya yang sesuai dengan kepercayaan tersebut.
Dalam studi agama, para ahli agama mengklasifikasikan agama ke dalam pelbagai kategori. Menurut al-Maqdoosi agama diklasifikasikan menjadi 3 kategori: 1) agama wahyu dan non-wahyu, 2) agama misionaris dan non-misionaris, dan 3) agama lokal dan universal.
Berdasarkan klasifikasi manapun diyakini bahwa agama memiliki peranan yang signifikan bagi kehidupan manusia karena di dalamnya terdapat seperangkat nilai yang menjadi pedoman dan pegangan manusia. Salah satunya adalah dalam hal moral.
Moral adalah sesuatu yang berkenaan dengan baik dan buruk. Tak jauh berbeda dengan moral hanya lebih spesifik adalah budi pekerti. Akhlak adalah perilaku yang dilakukan tanpa banyak pertimbangan tentang baik dan buruk. Adapun etika atau ilmu akhlak kajian sistematis tentang baik dan buruk. Bisa juga dikatakan bahwa etika adalah ilmu tentang moral. Hanya saja perbedaan antara etika dan ilmu akhlak (etika Islam) bahwa yang pertama hanya mendasarkan pada akal, sedangkan yang disebut terakhir mendasarkan pada wahyu, akal hanya membantu terutama dalam hal perumusan.
Di tengah krisis moral manusia modern (seperti dislokasi, disorientasi) akibat menjadikan akal sebagai satu-satunya sumber moral, agama bisa berperan lebih aktif dalam menyelamatkan manusia modern dari krisis tersebut. Agama dengan seperangkat moralnya yang absolut bisa memberikan pedoman yang jelas dan tujuan yang luhur untuk membimbing manusia ke arah kehidupan yang lebih baik.

MODUL 6
ILMU PENGETAHUAN, TEKNOLOGI, DAN SENI
Kegiatan Belajar 1: Iman, Ipteks, dan Amal sebagai Kesatuan
Rangkuman
Iman menurut arti bahasa adalah membenarkan dalam hati dengan mengandung ilmu bagi orang yang membenarkan itu. Sedangkan pengertian iman menurut syari’at adalah membenarkan dan mengetahui adanya Allah dan sifat-sifat-Nya disertai melaksanakan segala yang diwajibkan dan disunahkan serta menjauhi segala larangan.
Para sarjana muslim berpandangan bahwa yang disebut ilmu itu tidak hanya terbatas pada pengetahuan (knowledge) dan ilmu (science) saja, melainkan ilmu oleh Allah dirumuskan dalam lauhil mahfudz yang disampaikan kepada kita melalui Alquran dan As-Sunnah. Ilmu Allah itu melingkupi ilmu manusia tentang alam semesta dan manusia sendiri. Jadi bila diikuti jalan pikiran ini, maka dapatlah kita pahami, bahwa Alquran itu merupakan sumber pengetahuan dan ilmu pengetahuan manusia (knowledge and science).
Seandainya penggunaan satu hasil teknologi telah melalaikan seseorang dari zikir dan tafakur serta mengantarkannya kepada keruntuhan nilai-nilai kemanusiaan maka ketika itu bukan hasil teknologinya yang mesti ditolak, melainkan kita harus memperingatkan dan mengarahkan manusia yang menggunakan teknologi itu. Jika hasil teknologi sejak semula diduga dapat mengalihkan manusia dari jati diri dan tujuan penciptaan sejak dini pula kehadirannya ditolak oleh islam. Karena itu menjadi suatu persoalan besar bagi martabat manusia mengenai cara memadukan kemampuan mekanik demi penciptaan teknologi dengan pemeliharaan nilai-nilai fitrahnya.
Kesenian islam tidak harus berbicara tentang islam. Ia tidak harus berupa nasihat langsung, atau anjuran berbuat kebajikan,bukan juga penampilan abstrak tentang akidah. Seni yang islami adalah seni yang dapat menggambarkan wujud ini dengan bahasa yang indah serta sesuai dengan cetusan fitrah. Seni islam adalah ekspresi tentang keindahan wujud dari sisi pandangan islam tentang alam, hidup, dan manusia yang mengantar menuju pertemuan sempurna antara kebenaran dan keindahan (Manhaj Al-Tarbiyah Al-islamiyah, 119).
Ada 4 hal pandangan islam dalam etos kerja yaitu: Niat (komitmen) sebagai dasar nilai kerja, Konsep ihsan dalam bekerja, Bekerja sebagai bentuk keberadaan manusia, dan Orang mukmin yang kuat lebih disukai.
Kegiatan Belajar 2: Kewajiban Menuntut dan Mengamalkan Ilmu
Rangkuman
Pengertian yang kita petik dari ayat ini bahwasanya menuntut ilmu pengetahuan adalah suatu perintah (amar) sehingga dapat dikatakan suatu kewajiban. Harus kita sadari bahwa agama adalah merupakan pedoman bagi kebahagiaan dunia akhirat, sehingga ilmu yang tersimpul dalam agama tidak semata ilmu yang menjurus kepada urusan ukhrawi, tetapi juga ilmu yang mengarah kepada duniawi.
Manusia dituntut untuk menuntut ilmu, dan hukumnya wajib. Jika tidak menuntut ilmu berdosa. Selain hukum tersebut menuntut ilmu bermanfaat untuk mencapai kecerdasan atau disebut ulama (orang yang memiliki ilmu). Namun di balik itu, orang yang memiliki ilmu (ilmuwan) akan berdosa jika ilmunya tidak diamalkan. Dalam Alquran terdapat 620 kata amal.
Dalam kaitannya dengan orang yang beriman harus didasarkan pada pengetahuan (al-ilm) dan direalisasikan dalam karya nyata yang bermanfaat bagi kesejahteraan dunia dan akhirat, tentunya amal yang dibenarkan oleh ajaran agama (amal saleh).
Kegiatan Belajar 3: Tanggung Jawab Ilmuwan dan Seniman
Rangkuman
Tanggung jawab adalah sebagai perbuatan (hal dan sebagainya) bertanggung jawab atau sesuatu yang dipertanggungjawabkan. Istilah tanggung jawab dalam bahasa Inggris disebut responsibility atau dikenal dengan istilah populer accountability, dalam bahasa agama disebut hisab (perhitungan).
Penjelasan Alqur-an yang berkaitan dengan tuntutan tanggung jawab yang berkaitan dengan ilmu pengetahuan bahwa semua anggota badan yang meliputi indra pendengaran, penglihatan dan hati harus dipertanggungjawabkan. Seni adalah keindahan yang merupakan ekspresi ruh dan budaya manusia yang mengandung dan mengungkapkan keindahan. Ia lahir dari sisi terdalam manusia didorong oleh kecenderungan seniman kepada yang indah, apa pun jenis keindahan itu. Dorongan tersebut merupakan naluri manusia atau fitrah yang dianugerahkan Allah kepada hamba-hamba-Nya.
Tanggung jawab ilmuwan dan seniman meliputi: (1) nilai ibadah, (2) berdasarkan kebenaran ilmiah, (3) ilmu amaliah, dan (4) menyebar-luaskan ilmunya.

MODUL 7
BUDAYA AKADEMIK DAN BUDAYA KERJA (ETOS) DALAM ISLAM
Kegiatan Belajar 1: Memahami Makna Budaya Akademik dalam Islam
Rangkuman
Budaya akademik dalam pandangan Islam adalah suatu tradisi atau kebiasaan yang berkembang dalam dunia Islam menyangkut persoalan keilmuan. Atau dalam bahasa yang lebih sederhana adalah tradisi ilmiah yang dikembangkan Islam. Di antara poin-poin pentingnya adalah pertama, tentang penghargaan Al-quran terhadap orang-orang yang berilmu, di antaranya adalah:
  1. Wahyu Al-quran yang turun pada masa awal mendorong manusia untuk memperoleh ilmu pengetahuan.
  2. Tugas Manusia sebagai khalifah Allah di Bumi akan sukses kalau memiliki ilmu pengetahuan.
  3. Muslim yang baik tidak pernah berhenti untuk menambah ilmu.
  4. Orang yang berilmu akan dimuliakan oleh Allah SWT.
Di samping memberikan apresiasi terhadap orang yang berilmu poin penting lain yang dijelaskan Al-quran adalah bahwa:
  1. Iman seorang muslim tidak akan kokoh kalau tidak ditopang dengan ilmu, demikian juga dengan amal shalih.
  2. Tugas kekhalifahan manusia tidak akan dapat sukses kalau tidak dilandasi dengan ilmu.
  3. Karakter seorang muslim yang berbudaya akademik adalah; orang yang selalu mengingat Allah yang disertai dengan ikhtiar untuk selalu menggunakan akalnya untuk memikirkan ciptaan Allah SWT. Serta selalu berusaha menambah ilmu dengan membuka diri terhadap setiap informasi yang baik dan kemudian memilih yang terbaik untuk dijadikan pegangan dan diikutinya.
Kegiatan Belajar 2: Etos Kerja, Sikap Terbuka, dan Keadilan dalam Islam
Rangkuman
Budaya akademik akan dapat terwujud dengan syarat sikap-sikap positif juga dimiliki. Di antara sikap positif yang harus dimiliki adalah etos kerja yang tinggi, sikap terbuka dan berlaku adil. Arti penting dari ketiga sikap tersebut dapat diringkas sebagai berikut:
Untuk dapat meningkatkan etos kerja seorang muslim harus terlebih dahulu memahami tugasnya sebagai manusia yaitu sebagai khalifah Allah SWT di muka dan juga sebagai hamba yang berkewajiban untuk beribadah kepada Allah SWT. Beberapa petunjuk Al-quran agar dapat meningkatkan etos kerja antara lain;
  1. Mengatur waktu dengan sebaik-baiknya.
  2. Bekerja harus sesuai dengan bidangnya dan ini harus diberi catatan bahwa etos kerja yang tinggi tidak boleh menjadikan orang tersebut lupa kepada Allah SWT.
Sikap positif selanjutnya adalah sikap terbuka atau jujur; Seseorang tidak mungkin akan dapat meraih keberhasilan dengan cara mempunyai etos kerja yang tinggi kalau tidak memiliki sikap terbuka dan jujur. Karena orang yang tidak terbuka maka akan cenderung menutup diri sehingga tidak dapat bekerja sama dengan yang lain. Apalagi kalau tidak jujur maka energinya akan tersita untuk menutupi ketidakjujuran yang dilakukan. Maka Al-quran dan Hadis memberi apresiasi yang tinggi terhadap orang yang terbuka dan jujur.
Buah dari keterbukaan seseorang maka akan melahirkan sikap adil. Makna adil yang diperkenalkan Al-quran bukan hanya dalam aspek hukum melainkan dalam spektrum yang luas. Dari segi kepada siapa sikap adil itu harus ditujukan Al-quran memberi petunjuk bahwa sikap adil di samping kepada Allah SWT dan orang lain atau sesama makhluk juga kepada diri sendiri.

MODUL 8
POLITIK
Kegiatan Belajar 1: Kontribusi Agama dalam Kehidupan Politik
Rangkuman
Kontribusi yang diberikan oleh agama khususnya Islam dalam kehidupan politik cukup banyak. Dalam modul ini khususnya pada bagian Kegiatan Belajar 1 seperti telah dijelaskan di atas mencoba memberi gambaran tentang hal tersebut hanya dari dua sisi saja, itu pun keduanya bersifat normatif. Yaitu tentang prinsip-prinsip kekuasaan politik yang diajarkan oleh Islam dan kriteria pemegang kekuasaan politik yang diajarkan oleh Islam.
Pada bagian pertama, Islam secara lebih khusus Al-quran mengajarkan bahwa kehidupan politik harus dilandasi dengan empat hal yang pokok yaitu:
  1. Sebagai bagian untuk melaksanakan amanat.
  2. Sebagai bagian untuk menegakkan hukum dengan adil.
  3. Tetap dalam koridor taat kepada Allah, Rasu-Nya, dan ulil amri.
  4. Selalu berusaha kembali kepada Al-quran dan Sunnah Nabi SAW.
Pada bagian yang kedua, Islam memberi kontribusi bagaimana seharusnya memilih dan mengangkat seorang yang akan diberi amanah untuk memegang kekuasaan politik. Yaitu orang tersebut haruslah:
  1. Seorang yang benar dalam pikiran, ucapan, dan tindakannya serta jujur.
  2. Seorang yang dapat dipercaya.
  3. Seorang memiliki keterampilan dalam komunikasi.
  4. Seorang yang cerdas.
  5. Yang paling penting Anda seorang yang dapat menjadi teladan dalam kebaikan.
Kegiatan Belajar 2: Peranan Agama dalam mewujudkan Persatuan dan Kesatuan Bangsa
Rangkuman
Secara naluriah manusia tidak dapat hidup secara individual. Sifat sosial pada hakikatnya adalah anugerah yang diberikan oleh Allah SWT agar manusia dapat menjalani hidupnya dengan baik. Dalam faktanya manusia memiliki banyak perbedaan antara satu individu dengan individu lainnya, di samping tentunya sejumlah persamaan. Perbedaan tersebut kalau tidak dikelola dengan baik tentu akan menimbulkan konflik dan perpecahan dalam kehidupan bermasyarakat. Dari kenyataan tersebut perlu dicari sebuah cara untuk dapat mewujudkan persatuan dan kesatuan. Pendekatan terbaik untuk melakukan tersebut adalah melalui agama. Secara normatif agama Islam lebih khusus Al-quran banyak memberi tuntunan dalam rangka mewujudkan persatuan dan kesatuan dalam kehidupan bermasyarakat dan berbangsa. Beberapa prinsip yang diajarkan Al-quran untuk tujuan tersebut antara lain:
  1. Prinsip persatuan dan persaudaraan.
  2. Prinsip persamaan.
  3. Prinsip kebebasan.
  4. Prinsip tolong-menolong.
  5. Prinsip perdamaian.
  6. Prinsip musyawarah

MODUL 9
KERUKUNAN ANTAR UMAT BERAGAMA
Kegiatan Belajar 1: Agama adalah Rahmat dari Allah SWT bagi Seluruh Hamba-Nya
Rangkuman
Allah SWT telah menganugrahkan kepada setiap manusia fitrah bertuhan. Kualitas fitrah tersebut di antara manusia tidak ada perbedaan. Yang membedakan nantinya adalah aktualisasinya dalam sikap hidup. Dari sini kita dapat memahami manusia apapun kepercayaannya pasti mempunyai pandangan yang sama tentang satu nilai yang universal misalnya tentang kasih sayang, kejujuran dan lain-lain. Itulah salah satu bukti bahwa manusia memiliki hati nurani sebagai fitrah anugerah Tuhan
Sungguh sesuatu yang logis kalau Allah kemudian memberi petunjuk kepada manusia berupa agama yang diturunkan melalui para rasul dengan perantaraan wahyu. Karena fitrah beragama tersebut masih berupa potensi maka wajar kalau ajaran agama yang diturunkan Allah tersebut berisi petunjuk bagaimana cara mengaktualkan fitrah tersebut ke dalam perbuatan nyata. Agama tersebut pastilah yang juga bersumber dari Allah SWT. Manusia tidak diberi wewenang untuk menetapkan agama apa yang baik untuk berhubungan dengan Allah SWT yang berhak menetapkan adalah Allah SWT sebagai pemberi fitrah.
Namun demikian manusia diberi kebebasan untuk menentukan pilihannya. Setelah petunjuk agama disampaikan para rasul apakah manusia akan mengikuti atau menolaknya sepenuhnya manusia diberi pilihan. Pilihan yang diambil itulah yang akan dijadikan pertimbangan Allah SWT untuk memberi balasan di akhirat. Kalau pilihannya sesuai dengan petunjuk Allah maka hidupnya akan bahagia dunia akhirat, namun apabila sebaliknya hasilnya adalah kehinaan hidup di dunia dan akhirat.
Kegiatan Belajar 2: Kerukunan Antar Umat Beragama
Rangkuman
Bentuk persaudaraan yang dianjurkan oleh Al-quran tidak hanya persaudaraan satu aqidah namun juga dengan warga masyarakat lain yang berbeda aqidah. Terhadap saudara kita yang sesama aqidah, Al-quran bahkan jelas menggaris bawahi akan urgensinya. Beberapa petunjuk menyangkut persaudaraan dengan sesama muslim dijelaskan secara rinci.
Di antara perincian tentang petunjuk tersebut adalah bahwa penegasan bahwa sesama orang yang beriman mereka bersaudara. Di antara mereka tidak boleh saling mengolok, karena boleh jadi yang diolok-olok sebenarnya lebih baik. Di antara mereka juga tidak boleh saling menggunjing, karena perbuatan tersebut merupakan dosa. Dan antar sesama muslim harus saling menolong untuk melaksanakan kebaikan dan ketakwaan, juga saling mengingatkan dalam kebenaran dan kesabaran.
Terhadap warga masyarakat yang non-muslim, persaudaraan harus juga dibina. Persaudaraan dan kerja sama tersebut tentu saja bukan dalam hal aqidah, karena kalau dalam bidang aqidah sudah jelas berbeda maka tidak mungkin ada titik temu. Toleransi tersebut sebatas menyangkut hubungan antar sesama dan hal-hal yang berkaitan dengan kemanusiaan. Maka dalam menjalin toleransi tersebut ada etika yang harus dipatuhi yaitu tidak boleh menghina keyakinan agama lain serta tidak boleh mencampur adukkan aqidah masing-masing. 

Sumber : http://pustaka.ut.ac.id

Rangkuman Modul PEMA4101

- Selasa, 20 September 2011

 Bagi mahasiswa UT (Universitas Terbuka), modul-modul adalah salah satu hal yang paling banyak dicari. Begitu juga dengan saya...,, sebagai Mahasiswa UT, berusaha mencari modul-modul pendukung untuk referensi belajar. Walaupun memang agak sulit. Oleh karena itu, saya mencoba menampilkan rangkuman salah satu modul UT yaitu PEMA4101 (Hakikat dan Sejarah Matematika). Semoga bermanfaat.

Bottom of Form




PEMA4101
Hakikat dan Sejarah Matematika
Sukardjono
3 sks / modul 1-9: ill.; 21 cm
ISBN : 9790111576
DDC : 510
Copyright (BMP) © Jakarta: Universitas Terbuka, 2007
Tinjauan Mata Kuliah
Mata kuliah Hakikat dan Sejarah Matematika ini akan memberikan fasilitas kepada Anda untuk membangun (konstruksi) pengertian, sikap dan nilai Anda tentang apa matematika ditinjau dari hakikat dan sejarahnya sehingga terbuka kemungkinan pembelajaran matematika Anda di SMP atau SMA akan semakin efektif.
Seorang matematikawan dan filsuf Amerika, Williams L. Schaaf pernah mengatakan: "Tidak seorang guru pun dapat melakukan tugasnya dengan efektif dan kreatif tanpa pemahaman yang cukup terhadap perkembangan bidang studi yang diasuhnya". Karena itu mata kuliah ini sangat penting bagi Anda pengajar matematika di SMP maupun di SMA yang tentunya setiap saat, selalu bersedia untuk meningkatkan mutu pembelajarannya. Dengan mempelajari mata kuliah ini Anda akan lebih mantap dan percaya diri dalam melakukan pembelajaran matematika di kelas.
Setelah mengikuti mata kuliah ini Anda diharapkan mampu:
  1. menjelaskan hakikat matematika, filsafat matematika, dan filsafat pendidikan matematika;
  2. menjelaskan bahwa matematika adalah warisan budaya manusia;
  3. menjelaskan perkembangan matematika sejak dahulu sampai masa kini;
  4. menjelaskan cara berpikir matematika;
  5. menjelaskan landasan-landasan dasar matematika;
  6. menjelaskan sifat-sifat kebenaran matematika;
  7. menjelaskan perkembangan geometri dan aklimatisasinya;
  8. menjelaskan bahwa matematika mampu berperan sebagai metode dan seni.
Materi mata kuliah ini disajikan dalam sembilan (9) modul dengan rincian sebagai berikut.
  1. Modul 1: Hakikat Matematika.
  2. Modul 2: Matematika sebagai Warisan Budaya.
  3. Modul 3: Perkembangan Matematika.
  4. Modul 4: Berpikir Matematis.
  5. Modul 5: Sifat Kebenaran Matematika (Bagian 1).
  6. Modul 6: Sifat Kebenaran Matematika (Bagian 2).
  7. Modul 7: Landasan Matematika.
  8. Modul 8: Geometri Aksiomatis dan Empiris.
  9. Modul 9: Matematika Sebagai Metode dan Seni.


MODUL 1: Hakikat Matematika
Kegiatan Belajar 1: Matematika dan Peradaban Manusia
Rangkuman
Matematika adalah alat yang dapat membantu memecahkan berbagai permasalahan (dalam pemerintahan, industri, sains). Dalam perjalanan sejarahnya, matematika berperan membangun peradaban manusia sepanjang masa.
Metode yang digunakan adalah eksperimen atau penalaran induktif dan penalaran deduktif. Penalaran induktif adalah penarikan kesimpulan setelah melihat kasus-kasus yang khusus. Kesimpulan penalaran induktif memiliki derajat kebenaran barangkali benar atau tidak perlu benar.
Penalaran deduktif adalah penarikan kesimpulan dari hal-hal yang umum ke hal yang khusus. Kebenaran dalam penalaran deduktif adalah yakin benar atau pasti benar asalkan asumsi yang mendasarinya juga benar.
Kegiatan Belajar 2: Filsafat Matematika
Rangkuman
Filsafat adalah ilmu pengetahuan yang menyelidiki hakikat sesuatu. Pakar filsafat disebut filsuf, dan adjektifnya filosofi. Setiap filsuf memiliki definisi sendiri-sendiri. Tidak bertentangan tetapi sering saling melengkapi dan ini menunjukkan luasnya bidang persoalan dalam filsafat. Empat hal yang merangsang manusia untuk berfilsafat: ketakjuban, ketidakpuasan, hasrat bertanya, dan keraguan. Sifat dasar filsafat adalah: berpikir radikal, mencari asas, memburu kebenaran, mencari kejelasan, dan berpikir rasional. Peranan filsafat adalah sebagai pendobrak, pembebas, dan pembimbing. Aristoteles membagi filsafat ke dalam filsafat teoretis, praktis, dan produktif. Filsuf yang lain membagi filsafat dengan cara lain pula. Epistemologi adalah cabang filsafat yang bersangkutan dengan ilmu pengetahuan. Pokok persoalan epistemologi adalah sumber, asal mula, sifat dasar, bidang, batas, jangkauan, dan validitas serta reliabilitas ilmu pengetahuan. Ontologi adalah cabang filsafat yang membahas segala sesuatu secara menyeluruh. Pembahasan apa yang tampil dan apa yang realita. Tiga teori dalam ontologi adalah: idealisme, materialisme, dan dualisme.
Filsafat dari berbagai bidang ilmu: misalnya filsafat politik, ekonomi, bahasa, pendidikan, matematika, hukum, dan sebagainya.
Filsafat matematika dan filsafat umum dalam sejarahnya adalah saling melengkapi. Filsafat matematika bersangkut paut dengan fungsi dan struktur teori-teori matematika. Teori-teori itu terbebas dari asumsi-asumsi atau metafisik.
Filsuf matematika yang dikenalkan di sini adalah Pythagoras, Plato, Aristoteles, Leibniz, dan Kant. Doktrin Pythagoras antara lain bahwa fenomena yang tampak berbeda dapat memiliki representasi matematis yang identik (cahaya, magnet, listrik - sebagai getaran - dapat memiliki persamaan diferensial yang sama). Aristoteles menekankan, menemukan 'dunia permanen' merupakan realita daripada 'apa yang tampak'. Aristoteles lebih menekankan pada 'absraksi' daripada 'apa yang tampak'. Leibniz dan Kant menekankan pada proposisi matematis.
Kegiatan Belajar 3: Filsafat Pendidikan Matematika
Rangkuman
Filsafat pendidikan adalah pemikiran-pemikiran filsafat tentang pendidikan. Dapat mengonsentrasikan pada proses pendidikan, dapat juga pada ilmu pendidikan. Jika mengutamakan proses pendidikan, yang dipersoalkan adalah cita-cita, bentuk, metode, dan hasil dari proses pendidikan. Jika mengutamakan ilmu pendidikan maka yang menjadi pusat perhatian adalah konsep, ide, dan metode pengembangan dalam ilmu pendidikan. Filsafat pendidikan matematika termasuk filsafat yang membahas proses pendidikan dalam bidang studi matematika. Aliran-aliran yang berpengaruh dalam filsafat pendidikan antara filsafat analitik, progesivisme, eksistensialisme, rekonstruksionisme, dan konstruktivisme.
Pendidikan matematika adalah bidang studi yang mempelajari aspek-aspek sifat dasar dan sejarah matematika, psikologi belajar dan mengajar matematika, kurikulum matematika sekolah, baik pengembangan maupun penerapannya di kelas.
Filsafat konstruktivisme banyak mempengaruhi pendidikan matematika sejak tahun sembilan puluhan. Konstruktivisme berpandangan bahwa belajar adalah membentuk pengertian oleh si belajar. Jadi siswa harus aktif. Guru bertindak sebagai mediator dan fasilitator.


MODUL 2: Matematika sebagai Warisan Budaya
Kegiatan Belajar 1: Matematika Empiris (Abad ke-6 SM - 1850)
Rangkuman
Pusat perkembangan aritmetika
 1000 SM - 600 SM
 :
 Sumeria, Babilonia, Mesir kuno


 Pengembang aritmetika: pedagang, orang-orang awam
 600 SM - 300 SsM
 :
 YunaniPengembang: para Filsuf, terutama Pythagoras


 Pengembang: para Filsuf, terutama Pythagoras
 300 - 1200
 :
 Stagnan. Di Eropa ada beberapa orang


 Boethius, Alcuino, Gerbert, Leonardo Fibonacci
 1200 - 1800
 :
 di Eropa, fajar menyingsing


 Robert Recorde, Gemma Frietius, Simon Steven, John Napier, Newton, Leibniz
Budaya yang paling menonjol dapat dikatakan sebagai ciri khas budaya suatu bangsa. Ciri khas bangsa Yunani kuno adalah ide-ide idealnya, bangsa Romawi dengan budaya politik, militer dan suka menaklukkan bangsa lain. Bangsa Mesir kuno dengan seni keindahan dan juga mistik. Tahun 600 - 1200 ciri khas budaya bangsa Eropa adalah teologis. Tahun 1200 - 1800 budaya bangsa Eropa mulai eksplorasi alam sebelum revolusi industri. Abad ke-19, dan 20 penciptaan mesin-mesin otomatis berbarengan dengan kemajuan dalam bidang sains dan matematika.
Bangsa-bangsa Babilonia, Mesir, Sumeria dapat dipandang sebagai matematika empiris. Nama ini berkaitan dengan perkembangan matematika yang selalu untuk memenuhi keperluan dalam perdagangan, pengukuran, survei, dan astronomi. Dengan kata lain matematika diangkat dari pengalaman manusia bergelut dengan masalah-masalah praktis dalam kehidupan sehari-hari. Walaupun demikian matematika empiris ini telah mengantisipasi datangnya matematika non-empiris seperti telah digunakannya bilangan negatif, dan sistem bilangan alam atau asli yang menuju ketakhingga.
Kontribusi paling menonjol bangsa Yunani terhadap perkembangan matematika terletak pada dipilihnya metode deduktif dan kepercayaannya bahwa fenomena alam dapat disajikan dalam lambang-lambang bilangan. Dan ini terbukti sekarang telah ditemukan alat-alat elektronik digital.
Bangsa Eropa sendiri baru belakangan tertarik pada matematika. Selama 1000 tahun matematika berkembang di Asia kecil (Yunan, Arab). Tahun 400 - 120 perkembangan matematika dapat dikatakan mandek, hanya beberapa gelintir orang mengembangkan secara individual (tanpa ada komunikasi satu sama lain), di antara mereka adalah Boethius, Alcuino, dan Gerberet, dan yang paling akhir Leonardo Fibonacci.
Barulah pada abad ke-16, pusat perkembangan matematika berada di Eropa.
Kegiatan Belajar 2: Matematika Kontemporer (1850 - Sekarang)
Rangkuman
Aritmetika memiliki peran ganda: sebagai alat bantu sains dan perdagangan, dan sebagai uji komparatif landasan dasar tempat sistem matematika itu dibangun. Hogben, Well, dan McKey dan lain-lain telah melukiskan peran aritmetika dengan indahnya.
Perkembangan kalkulasi yang paling spektakuler adalah diciptakannya "otak elektronik", komputer. Komputer lebih banyak memerlukan matematika daripada aritmetika elementer. Penciptaan komputer memerlukan kolaborasi para pakar matematika, aritmetika, dan ahli teknik pakar mesin.
Pada abad 20 perkembangan aritmetika makin abstrak dan tergeneralisasi. Perkembangannya mengacu pada aljabar dan analisis guna lebih "mengeraskan" aritmetika. Sebaliknya yang terakhir ini disebut "arimetisasi"
Abstraksi dan generalisasi pada abad 20 telah diantisipasi oleh Lobachevsky dengan munculnya geometri non-euclidnya. Selanjutnya pakar-pakar lain seperti Peacock, Gregory, DeMorgan, memandang aljabar dan geometri sebagai "hipothetico-deductive" dengan cara Euclid.
Dengan kritikan tajam oleh Cantor, Dedekind, dan Weirstrass terhadap sifat-sifat sistem bilangan (seperti faktorisasi, habis dibagi dan sebagainya) pada tahun 1875, pada tahun 1899 Hilbert muncul dengan "metode postulatsional". Dengan demikian, dari pandangan ini, bilangan, titik, garis dan sebagainya adalah abstrak murni, tidak mempunyai kaitan dengan benda fisik. Akhirnya Peano berjaya menjelaskan bahwa sistem bilangan 1, 2, 3, . . . dapat diperluas (dalam arti dapat "menghasilkan") sistem bilangan bulat, rasional, real, dan kompleks hanya melalui postulat pada bilangan alam.
Permasalahan terakhir adalah masalah "landasan" atau "pondasi" matematika atas mana struktur matematika itu dibentuk.
Matematika yang telah berkembang selama dua ribu lima ratus tahun oleh generasi ke generasi, ternyata dapat diajarkan kepada anak-anak "hanya" dalam beberapa tahun di sekolah. Oleh karena itu, Prof Judd (psikolog) mengatakan bahwa aritmetika adalah kreasi manusia paling perfect (sempurna) dan alat untuk berkomunikasi sesama manusia. Dengan demikian matematika perlu dijaga dan dikembangkan untuk mengantarkan manusia menyongsong hari esok yang cerah. 


MODUL 3: Perkembangan Matematika
Kegiatan Belajar 1: Perkembangan Sebelum Renaissance
Rangkuman
Perkembangan matematika dilihat dari produktivitas baik kuantitatif maupun kualitatif dari waktu ke waktu makin meningkat dan sangat cepat. Perbandingan ini dikaitkan dengan skala waktu. Perbandingan produktivitas terhadap skala waktu, secara kuantitatif dapat digambarkan mendekati secara eksponensial pertumbuhan biologis.
Ada dua macam pembagian mengikuti waktu atau periode perkembangan. Yang pertama, pembagian waktu ke dalam tiga periode, yakni, "dahulu", "pertengahan", dan "sekarang". Pembagian ini berdasarkan pertumbuhan matematika sendiri dan daya tahan hidup sesuai zamannya. Yang kedua, pembagian menurut cara konvensional dalam tujuh skala waktu menurut penemuan naskah yang dapat dihimpun, yakni (1) Babilonia dan Mesir Kuno, (2) Kejayaan Yunani (600 SM - 300), (3) Masyarakat Timur dekat (sebagian sebelum dan sebagian lagi sesudah (2)), (4) Eropa dan masa Renaissance, (5) Abad ke-17, (6) Abad ke-18 dan 19, dan (7) Abad ke-20. Pembagian ini mengikuti perkembangan kebudayaan Eropa.
Setiap periode, baik yang membagi menjadi 3 atau pun 7, memiliki ciri khas yang umum. Pada periode "dahulu", ciri khasnya adalah empiris, mendasarkan pada pengalaman (indera) hidup manusia. Periode "pertengahan" mulai dengan analisis (Descartes, Newton, Leibniz, Galileo), sedangkan pada periode "sekarang" ciri khasnya adalah metode abstraksi dan generalisasi. Ternyata perkembangan matematika dilihat dari kualitas dan kekuatannya jauh lebih penting daripada dilihat secara kuantitas. Ingatlah akan definisi matematika yang mengatakan "matematika adalah cara berpikir dan bernalar", lihat Modul 1. Sedang kekuatannya, misalnya, lihatlah geometri Euclid dibanding dengan geometri non-euclid, yang terakhir ini mampu menyelesaikan masalah lebih rumit (geometri non-euclid digunakan dalam mengembangkan teori relativitas dalam ilmu fisika)
Walaupun demikian kadang-kadang korelasi antara perkembangan matematika dan kebudayaan kadang-kadang korelasi itu negatif.
Kegiatan Belajar 2: Perkembangan Matematika Sesudah Renaissance
Rangkuman
Masing-masing dari 7 periode terdapat peningkatan kematangan yang signifikan, namun juga terdapat keterbatasannya. Pada periode Yunani, matematika masih bersifat empiris. Pada abad ke-17, kekurangan itu diperbaiki dengan munculnya geometri analitik, proyektif, dan diferensial pada abad berikutnya. Revitalisasi diperlukan agar pertumbuhan matematika makin berkembang dan dapat digunakan dalam ilmu lainnya. Yang terakhir muncul geometri baru (non-euclid) dan menyingkirkan geometri euclid (lama).
Dalam periode terakhir, daerah jelajah matematika makin luas. Beberapa cabang menjadi terlepas dari induknya dan menjadi otonom. Beberapa di antaranya diserap dalam wadah yang lebih besar, misalnya analisis telah menggeneralisasi geometri. Pelarian dan penangkapan kembali ini mengilhami para matematikawan untuk merangkum kembali seluruh matematika. Awal abad ke-20 dipercayai unifikasi akan dicapai melalui logika matematis (Bertrand Russell). Ternyata harapan ini sia-sia dan terlepas.
Motivasi yang melatar-belakangi perkembangan matematika semula diperkirakan ekonomi. Penelitian lebih mendalam ternyata tidak demikian. Latar belakang ekonomi benar untuk matematika praktis yang diterapkan pada perdagangan, asuransi, sains, dan teknologi. Namun perkembangan matematika dapat dimotivasi oleh agama (mistik), kuriositas intelektual, bahkan hanya untuk 'makanan' para pakar matematika. Bagi para pakar matematika 'murni' tidak ada tujuan apa pun terkecuali untuk mengembangkan teorinya yang rigor, tanpa memikirkan apakah kelak berguna atau tidak (baca lagi sisa-sisa zaman).
Banyak matematika yang telah dikembangkan begitu sulit oleh para pekerja matematika, namun hasilnya terkubur begitu saja. Setiap zaman meninggalkan hasil-hasil yang rinci. Sebagian hanya menarik bagi sejarawan matematika. Jadi hasil-hasil karya setiap zaman dapat saja terkubur, tetapi tidak perlu mati. Dan pekerja yang sudah bersusah-payah ini memang tidak perlu sia-sia.

MODUL 4: Berpikir Matematis
Kegiatan Belajar 1: Persyaratan Aksioma dalam Sistem Matematis
Rangkuman
Sejak awal perkembangannya sampai kira-kira abad ke-16, matematika tidak pernah mengenal kreasi matematika baru, sehingga orang mengatakan matematika adalah statis. Tetapi pendapat ini menjadi tidak benar sebab setelah abad ke-17, Descartes menemukan geometri analitik. Lebih-lebih setelah Bolyai dan Lobachevsky menemukan geometri non-euclid. Ini memicu tumbuhnya metode postulatsional atau metode aksiomatis pada abad ke-19. Pemunculan metode ini dipandang sebagai fajar menyingsing perkembangan matematika. Mulai saat itu, hampir setiap hari dikreasi matematika baru.
Euclid, guru besar di Aleksandria, Mesir, setelah zaman Aristoteles, menulis buku geometri secara aksiomatis. Namun perangkat aksioma buatan Euclid masih kurang rigor (tajam). Kurang rigor-nya ini disebabkan diberinya definisi term-term penyusun aksioma. Contoh: Melalui dua titik yang berlainan hanya terdapat satu garis lurus yang menghubungkan keduanya. Kemudian ia mendefinisikan: titik adalah sesuatu tidak memakan tempat. Pembuka jalan metode aksiomatis adalah Bolyai dan Lobachevsky dalam buku mereka geometri non-euclid. Tetapi yang dianggap pelopornya adalah Peano dan More dari Amerika Serikat, sedangkan Hilbert yang paling berpengaruh.
Sebuah sistem matematika diawali dengan perangkat aksioma. Sejak awal abad ke-19 dikehendaki adanya persyaratan baku untuk suatu perangkat aksioma.
Persyaratan ini adalah konsistensi, independensi, dan kategoris. Agar syarat-syarat rigor dipenuhi, banyaknya term tak didefinisikan harus diminimalkan.
Perangkat aksioma dikatakan konsisten jika tidak ada jalan logis yang mendeduksi kontradiksi di antara proposisi-proposisi yang dihasilkan. Dikatakan independen jika setiap proposisi dalam perangkat aksioma tidak dapat dideduksi dari proposisi-proposisi lainnya dalam perangkat itu. Dikatakan kategoris jika dapat dibentuk isomorphisma dari himpunan-himpunan yang disajikan secara aktual dari perangkat aksioma.
Kegiatan Belajar 2: Peran Logika dalam Sistem Matematika
Rangkuman
Pythagoras mengusulkan adanya konsep untuk 'bukti' yang baku dan jelas dan disetujui oleh semua pakar. Aristoteles menyusun hukum dasar logika yang pertama kali. Ternyata hukum dasar itu identik dengan perangkat aksioma. Term tak didefinisikan dalam aksioma disebut kata primitif dalam logika. Dengan sistem aksioma dalam geometri Euclid, diubah oleh Lobachevsky dan Bolyai, maka kemudian ada maksud mengembangkan logika modern. Russell dan Whitehead telah berhasil menyusun membangun hukum dasar logika modern. Dalam sistemnya mereka memasukkan kata-kata atau, dan, negasi dan sebagainya. Hukum dasar Aristoteles dipandang hanya berlaku untuk semesta tertentu. Hukum dasar logika modern bersifat semesta. Artinya semua matematika dan sains dapat menggunakan hukum dasar logika modern guna menarik kesimpulan, dan tidak tergantung jenis logika yang digunakan. Ternyata baik aksioma matematika maupun hukum dasar logika adalah variabel. Lucasiewics berjaya menyusun sistem logika modern. Keuntungannya tidak perlu lagi menggunakan tabel-tabel matriks nilai kebenaran untuk setiap kemungkinan nilai kebenaran komponennya. Dan dapat langsung untuk sebarang nilai kebenaran komponen-komponennya.
Russell menganggap matematika adalah cabang logika (logistik), Hilbert memandang logika adalah cabang matematika (formalis). Brouwer tidak menyetujui kedua-duanya dan mengatakan setiap keberadaan matematika harus ada jalan mengkonstruksinya (intuisionis). Ini yang kemudian menjadikan suasana bimbang dan tidak pasti.

MODUL 5: Sifat Kebenaran Matematika (Bagian 1)
Kegiatan Belajar 1: Aksioma dan Proposisi Matematika
Rangkuman
Teori sains empiris, misalnya fisika atau psikologi, dikatakan benar sejauh teori itu cocok dengan bukti empiris atau kenyataan luar. Matematika tidak demikian. Kebenaran matematika tidak ada sangkut pautnya dengan bukti empiris. Kebenaran matematika diperoleh dari makna kata-kata yang terkandung dalam proposisi yang bersangkutan.
Karena dalam sistem matematika diawali dengan perangkat aksioma dan teori-teori matematika diturunkan secara logis (dengan perangkat logika yang telah ditetapkan) dari aksioma, kebenaran matematika disebut kebenaran kondisional.
Kebenaran perangkat aksioma bukanlah self-evident truth, dan bukan pula sains empiris paling umum. Kebenaran matematika adalah kebenaran apriori, sedangkan kebenaran sais empiris adalah postteori yakni teori itu benar selama masih cocok dengan fakta aktual, atau sampai ada bukti lain yang menolaknya.
Kegiatan Belajar 2: Sistem Aksioma Peano sebagai Basis Matematika
Rangkuman
Aksioma Peano adalah sebuah contoh sistem aritmetika postulatsional. Aksioma Peano sangat mengagumkan. Perangkat aksioma ini terdiri dari 5 postulat dengan definisi rekursif (maju atau mundur) bilangan-bilangan alam, misalnya 4 = 3´ = (2´ )´ = ((1´ )´ )´ = (((0´ )´ )´ )´ ,. Atau 0´ = 1, 1´ = 2, 2´ = 3, dst. P4 membatasi bahwa setelah bilangan 0 tidak dapat mundur lagi. Dengan menambahkan definisi jumlah D1(a), (b) dan definisi kali D2(a) dan (b), maka dapat dibuktikan sifat-sifat operasi assosiatif, komutatif, dan distributif untuk kedua operasi yang didefinisikan.
Dengan mendefinisikan bilangan positif, negatif, rasional, dan kompleks dengan cara-cara yang sesuai hanya dengan mengambil term-term primitif yang termuat dalam aksioma, semua sistem bilangan memenuhi aksioma. Demikian pula fungsi aljabar seperti fungsi kontinu, limit, kalkulus dsb. Dengan hasil ini maka dikatakan bahwa aksioma Peano merupakan basis matematika.


MODUL 6: Sifat Kebenaran Matematika (Bagian 2)
Kegiatan Belajar 1: Kebenaran Konsep-konsep dalam Matematika
Rangkuman
Aksioma Peano memuat tiga term tak didefinisikan: '0', 'bilangan', dan 'pengikut' dan 5 buah aksioma. Term-term tak didefinisikan dapat diberi makna biasa, dan secara teoretis dalam takhingga cara. Tetapi makna biasa ini harus mengubah kelima aksioma menjadi proposisi-proposisi yang bernilai benar. Selanjutnya dapat diciptakan definisi kata-kata baru dari term-term yang telah diberi makna biasa itu. Syaratnya definisi ini harus menjadi proposisi yang bernilai benar. Dari definisi dan aksioma dalam makna biasa akan diperoleh teori-teori melalui deduksi logis. Dengan demikian teori yang telah diperoleh dengan makna biasa ini menjadi sistem matematika yang letak kebenarannya ada pada definisi-definisi itu.
G. Frege, Russell dan Whitehead telah secara rinci memberi makna biasa dari term-term tak didefinisikan Peano dan membuat definisi-definisi dengan teknik lambang logika. 'Bilangan 2' dalam primitif Peano adalah kosong dari arti. Bilangan 2 adalah makna 'biasa'. Bilangan alam 2 (biasa) adalah ciri khas dari koleksi himpunan-himpunan C terdiri dari objek-objek, yakni n(C) = 2. Bilangan 2 didefinisikan sebagai berikut: "Terdapat objek x dan objek y sedemikian rupa sehingga (1) x C dan y C, (2) x y, (3) Jika z C adalah sebarang anggota di C, maka z = x atau z = y" Dari definisi ini kita dapat menyimpulkan bahwa n(C) = 2 dengan pertolongan logika.
Kegiatan Belajar 2: Kebenaran Matematika dalam Sains Empiris
Rangkuman
Tiga term primitif Peano adalah '0', 'bilangan', dan 'pengikut', dapat diinterpretasikan dengan makna biasa dengan banyak cara. Misalnya, primitif 'bilangan' diartikan bilangan alam 0, 1, 2, 3, ... Primitif dalam makna biasa ini didefinisikan melalui konsep-konsep logika (ada 4 konsep pokok). Ternyata aksioma-aksioma Peano, melalui deduksi, menjadi proposisi-proposisi. Selanjutnya jika perlu diteruskan dengan membuat definisi-definisi non-primitif melalui prinsip-prinsip logika. Dengan cara ini seluruh teori matematika dapat dideduksi dengan menggunakan konsep-konsep logika dan jika diperlukan ditambahkan 'aksioma pilihan' dan 'aksioma infinit'. Dari kenyataan ini maka timbullah pemikiran bahwa matematika adalah cabang logika. Akibat selanjutnya ialah bahwa kebenaran matematika terletak pada definisi-definisi itu. Inilah letak kebenaran aksioma Peano dalam makna biasa. Berbeda dengan teori geometri, geometri dipandang sebagai studi tentang struktur ruang fisik, maka primitif-primitifnya harus dibangun dengan mengacu pada entitas fisik jenis tertentu. Jadi, dengan demikian kebenaran teori geometri dalam interpretasi ini terletak pada persoalan empiris.
Tentang kegunaan matematika dalam sains empiris, harus dilihat dengan telaah lebih mendalam. Sebagian terbesar perkembangan sains empiris (IPA dan IPS) telah diperoleh melalui penerapan terus menerus proposisi-proposisi matematika. Akan tetapi perlu diingat, bahwa fungsi matematika di sini bukan memprediksi, melainkan sebagai analisis atau ekspliaktif. Matematika membuka asumsi-asumsi secara eksplisit atau membuka asersi-asersi yang termuat dalam premis-premis argumen. Matematika membuka data, yakni, mana yang diketahui dan mana yang dipersoalkan. Jadi, penalaran matematis dan logis adalah teknik konseptual membuka perangkat premis-premis yang implisit menjadi premis-premis yang eksplisit.


MODUL 7: Landasan Matematika
Kegiatan Belajar 1: Landasan dan Paradoks dalam Matematika
Rangkuman
Krisis landasan dalam matematika selalu diawali dengan munculnya paradoks atau antinomi dalam matematika.
Krisis I. Pada abad ke-5 SM, muncul paradoks bahwa ukuran sama jenis (dalam geometri) adalah proporsional. Konsekuensi dari paradoks ini menjadikan semua 'teori proporsi' model Pythagoras dicoret dan dinyatakan salah. Krisis ini tidak segera di atasi dan baru sekitar 500 tahun kemudian oleh Eudoxus dengan penemuannya bilangan rasional pada tahun 370 SM.
Krisis II. Pada abad ke-17, Newton dan Leibniz menemukan kalkulus. Hasil ini sangat diagungkan karena penerapannya yang gemilang, dengan konsepnya 'infinitesial'. Malangnya, hasil-hasil penerapannya justru digunakan untuk menjelaskan landasannya. Krisis ini dapat diatasi pada abad ke-19 oleh Cauchy dengan memperbaiki konsep kalkulus melalui konsep 'limit'. Dengan aritmetisasi oleh Wierstrass, krisis landasan II telah diatasi.
Abad ke-19 Cantor menemukan teori himpunan. Teori ini disambut antusias oleh para matematikawan dan teori himpunan telah menjadi landasan cabang-cabang matematika. Burali Forti, Bertrand Russel mengajukan paradoks-paradoks dalam teori himpunan. Misalnya H = {x | x H}, yakni, H adalah himpunan semua x sedemikian sehingga x H. Sampai sekarang krisis belum dapat diatasi. Melalui filsafat (yang selalu mencari sesuatu yang hakiki) dilakukan program-program mengatasi krisis. Ada tiga kelompok besar yang ingin mengatasi krisis ini, yang memunculkan tiga aliran: logistis, formalis, dan intuisionis.
Kegiatan Belajar 2: Macam-macam Aliran dalam Membangun Landasan
Rangkuman
Krisis landasan matematika, terutama yang berlandaskan teori himpunan dan logika formal, memaksa para matematikawan mencari landasan filsafat yang ingin mengonstruksi seluruh massa matematika yang besar, sehingga dapat diperoleh landasan yang kokoh. Mereka terpecah ke dalam tiga aliran besar filsafat matematika: logistis, intuisionis, dan formalis.
Kaum logistis dengan pimpinan Bertrand Russell dan Whitehead, menganggap bahwa sebagai konsekuensi dari programnya, matematika adalah cabang dari logika. Oleh karena itu, seluruh matematika sejak zaman kuno perlu dikonstruksi kembali ke dalam term-term logika. Hasil program ini adalah karya monumental "Principia Mathematica". Dalam buku ini hukum 'excluded middle' dan hukum 'kontradiksi' adalah ekuivalen. Kesulitan timbul salam usaha mereka merakit beberapa metode kuno untuk menghilangkan aksioma reduksi yang tidak disukai.
Kaum intuisionis dengan pimpinan Brouwer, menganggap, sebagai konsekuensi dari programnya, bahwa logika adalah cabang dari matematika. Matematika haruslah dapat dikonstruksi seperti bilangan alam dalam sejumlah langkah finit. Mereka menolak hukum 'excluded middle' jika akan diberlakukan untuk langkah infinit. Heyting membangun perangkat logika-intuisionis dengan lambang-lambang yang diciptakannya. Kesulitan yang timbul adalah berapa banyak keberadaan matematika dapat dibangun tanpa tambahan (perangkat logika) yang diperlukan.
Kaum formalis dengan pimpinan Hilbert menganggap bahwa matematika, sebagai konsekuensi dari programnya, adalah sistem lambang formal tanpa makna. Untuk mengonstruksi seluruh matematika yang telah ada, diperlukan 'teori bukti' untuk menjamin konsistensinya. Dengan lambang-lambang formal kaum formalis menghasilkan karya monumentalnya "Grunlagen der Mathematik:", jilid I dan II. Malangnya, K. Godel, matematikawan Italia menunjukkan bahwa konsistensi suatu perangkat aksioma karya Hilbert 'tak dapat ditentukan', bahkan sebelum buku Hilebrt II diterbitkan.
John von Neumann (1903 - 1957)
John von Neumann termasuk salah satu matematikawan abad 20. Seperti kebanyakan matematikawan yang lain ia pun berkontribusi penting baik dalam matematika maupun dalam sains. Von Neumann khususnya tertarik pada permainan strategi dan peluang. Jadi tidak mengejutkan apabila ia adalah salah seorang yang membuka bidang matematika baru yang disebut game theory (teori permainan). Dengan menggunakan peluang yang terlibat dalam peluang strategi dan ia membuat strategi yang menghasilkan "pemenang" dalam permainan pembuatan keputusan, teori permainan von Neumann dapat menyelesaikan masalah-masalah dalam ekonomi, sains, dan strategi militer.
Von Neumann dilahirkan di Budapest, Hongaria. Ketika berusia 6 tahun, ia mampu melakukan operasi pembagian seperti 78.463.215: 49.673.235 di luar kepala. Pada usia 8 tahun ia telah memperoleh master dalam kalkulus dan mempunyai trik tertentu mengingat dalam sekali pandang terhadap nama, alamat, dan nomor telepon dalam satu kolom buku telepon. Ketika berusia 23 tahun ia menulis sebuah buku berjudul Mathematical Foundations of Quantum Mechanics, yang digunakan dalam pengembangan energi atom.
Pada tahun 1930, von Neumann hijrah ke Amerika Serikat untuk memangku jabatan guru besar dalam fisika-matematika pada Universitas Princeton. Ia menjadi berminat dalam penggunaan komputer berskala besar dan ia salah satu pembangun otak elektronik modern, yang disebut MANIAC (Mathematical Analyzer, Numerical Integrator and Computer). Sebagai penasihat selama Perang Dunia II, ia memberi kontribusi dalam mendisain senjata dan peluru nuklir.
Von Neumann mempunyai banyak minat intelektual, namun kebanggaan terbesarnya adalah menyelesaikan masalah. Suatu ketika ia menjadi begitu berminat adalah sebuah masalah ketika dalam perjalanan ia ingin menelepon istrinya untuk mencari tahu mengapa ia melakukan perjalanan. Karena kemampuan von Neumann menyelesaikan masalah, cakrawala matematis kita telah makin luas.

MODUL 8: Geometri Aksiomatis dan Empiris
Kegiatan Belajar 1: Geometri Aksiomatis
Rangkuman
Kebenaran hipotesis atau teorema dalam sains empiris hanya untuk 'sementara waktu', atau 'sampai ditemukan ketidakcocokannya dengan data empiris baru'. Sebaliknya kebenaran dalam matematika, sekali dibangun 'untuk selama-lamanya'. Kebenaran matematika dapat dipahami melalui analisis metode bagaimana matematika itu dibangun. Metode demikian adalah demonstrasi-matematis yang terdiri dari deduksi logis dari aksioma atau suatu teorema yang dideduksi dari teorema-teorema yang telah terlebih dahulu dibuktikan kebenarannya. Agar langkah mundur ini tidak berkesudahan, maka harus ada proposisi yang diterima tanpa bukti, yang disebut perangkat aksioma atau postulat.
Dalam geometri khususnya ternyata perangkat aksioma Euclid tidak cukup, artinya ada teorema-teorema yang tidak dapat dibuktikan secara langsung melalui deduksi logis postulat-postulatnya. Dalam buku Euclid, suatu teorema kadang-kadang dibuktikan dengan menggunakan intuisi hubungan geometri, misalnya gambar dan pengalaman dengan benda tegar. Ketidak-cukupan ini oleh Hilbert ditambah dengan postulat 'terletak' dan 'antara'. Postulat kesejajaran Euclid terbukti tidak dapat dideduksi dari postulat-postulat lainnya. Hal ini menggelitik para pakar untuk 'mengganti' postulat ini dengan postulat yang lain. Hasilnya, Lobachevsky dan Bolyai menemukan geometri hiperbolik sedangkan Riemann menemukan geometri eliptik, kedua-duanya dikategorikan sebagai geometri non-euclid.
Kepastian matematis dikatakan relatif terhadap perangkat aksioma yang mendasarinya tempat diturunkannya suatu teorema, dan dikatakan perlu karena teorema-teorema sebenarnya hanyalah secara implisit telah terkandung dalam perangkat postulat itu. Oleh karena perangkat postulat tidak mengacu kepada data empiris, maka sebagai konsekuensinya, teorema-teorema pun tidak mengacu kepada data empiris. Dan Anda juga tahu bahwa kebenaran suatu aksioma adalah apriori, sebuah kebenaran yang diperoleh dari kata-kata yang dikandungnya.
Kegiatan Belajar 2: Geometri Empiris
Rangkuman
Geometri murni adalah geometri yang dikembangkan melalui metode formal murni (aksiomatis). Geometri ini sama sekali tidak berkaitan dengan material fisik khusus. Postulat-postulat ditetapkan dan teorema-teorema diperoleh melalui deduksi logis menggunakan logika formal, dan analisis konsep, kosong dari arti. Kebenarannya adalah persis (pasti dan perlu). Adanya nama-nama seperti titik, garis, dan sebagainya. yang sama dengan nama-nama fisik hanyalah kebetulan saja.
Geometri dalam sejarah perkembangannya memang merupakan generalisasi dari pengalaman empiris dalam berbagai praktik keteknikan sederhana. Oleh karena itu, juga sering disebut sebagai teori struktur ruang fisik, atau geometri fisik. Geometri fisik dapat diperoleh melalui interpretasi semantik, yakni, pemberian makna khusus, designatum, kepada primitif-primitif yang harus memenuhi semua perangkat aksioma dalam geometri murni. Akibatnya semua geometri murni menjadi teorema yang bermakna - pernyataan fisik dan sepenuhnya terhadap teorema-teorema di dalamnya dapat dimunculkan sifat benar-salah. Jadi interpretasi semantik kepada primitif ke dalam makna khusus ini akan mengubah geometri murni menjadi geometri fisik. Term 'segitiga' adalah term dalam geometri murni, sedangkan term 'daerah segitiga' adalah term dalam geometri fisik. Term-term 'persegi kertas', 'persegi kerangka' adalah term-term dalam geometri fisik. Demikian pula luas daerah lingkaran adalah kali kuadrat jari-jari adalah teorema dalam geometri fisik.
Jika geometri fisik digunakan menyelesaikan masalah yang terkait dengan pengalaman sehari-hari dan kemudian ada ketidakcocokan, maka ketidakcocokan ini harus dicari dari situasi fisiknya. Masalah ini dinamakan konvensi Poincare. Penalarannya adalah sebagai berikut. Jika geometrik fisik G akan diuji kebenarannya, maka pengujian itu tentu melibatkan benda (sains) tertentu P (misalnya pengukuran atau observasi sistematik). Hasil ujinya adalah konfirmasi G-P, dan bukan hanya G sendiri. Jika hasil amatan ternyata tidak cocok, maka yang perlu divalidasi adalah P dan bukan G.
Apakah ruang fisik berstruktur euclid atau non-euclid, hanyalah masalah konvensi saja. Poincare selalu mengambil geometri euclid sebagai struktur ruang fisik, tetapi ketika Einstein mengambangkan teori relativitas umumnya, ia mengambil geometri-eliptik (non-euclid) sebagai struktur ruang fisik. 


MODUL 9: Matematika sebagai Metode dan Seni
Kegiatan Belajar 1: Matematika sebagai Metode
Rangkuman
Walaupun tidak sempurna, matematika aksiomatis dibuka oleh geometri Euclid pada abad ketiga. Peano membuat aksioma yang mula-mulanya untuk bilangan alam. Aksioma ini berbuah lebat. Hilbert menyempurnakan aksioma Euclid. Perangkat aksioma harus memenuhi syarat tertentu antara lain: (a) terdiri dari kata-kata yang kosong dari arti (primitif), (ii) banyaknya primitif harus minimal, (iii) perangkat primitif harus konsisten, dan independen. Teorema-teorema dideduksi secara logis dengan menggunakan logika formal. Dengan metode langkah-langkah seperti itu maka muncul matematika baru yang disebut sistem matematika. Karena itu geometri dapat dipandang sebagai sebuah metode (metode membangun karya matematis).
Dalam geometri murni, term-term primitif kosong dari arti. Teorema-teorema dideduksi secara logis menggunakan logika formal. Teorema-teorema pun kosong dari arti. Kebenaran teorema-teorema ini adalah kondisional.
Dalam geometri fisik atau orang awam menyebutnya geometri empiris, perangkat aksioma diambil dari geometri murni dengan cara memberi makna fisik untuk term-term primitif. Teorema-teorema kemudian juga mengandung makna fisik. Sekarang perangkat aksioma dan teorema-teorema dalam geometri fisik bernilai benar.
Untuk pengembangan teorema-teorema matematikawan memiliki daya imajinasi, abstraksi, inspirasi, dan kreativitas, yang pada umumnya juga berdasarkan pengalaman.
Kegiatan Belajar 2: Matematika adalah Seni Keindahan
Rangkuman
Sekarang kita kembali ke pertanyaan awal kita. Apakah matematika itu? Kita mampu mengatakan bahwa dalam nurani manusia, suatu kehidupan, selalu berubah, entitas eksklusif, terdapat unsur-unsur yang menghasilkan seni dan pengetahuan. Jika kita pelajari apa yang mereka hasilkan, kita dapati bahwa yang dihasilkan itu disebut keindahan, dan memuat unsur-unsur yang dapat kita pandang baik dari sisi dinamika kehidupan sebagai unsur-unsur dalam suatu struktur jika dipandang oleh seniman, atau kita dapat melihat hasilnya dari sisi statis, sebagai pengetahuan, dan menamakannya: ritme (irama) order (urutan), disain (rancang bangun), dan harmoni (laras). Matematika adalah, pada sisi statis, suatu kreasi ritme, order, disain, dan harmoni baru, dan pada sisi pengetahuan, adalah studi sistematik dari berbagai ritme, orde, disain, dan harmoni. Kita dapat meringkasnya ke dalam pernyataan bahwa matematika adalah, pada studi kualitatif dari struktur keindahan, dan pada sisi lain adalah kreator dari bentuk-bentuk artistik baru dari keindahan, Matematikawan adalah sekaligus kreator dan pengkritik, tentu saja, tidak selalu pada orang yang sama. Yang sangat terkenal sebagai kreator besar adalah Sylvester, Kleine, dan Poincare, dan mereka ini tidak terlalu tertarik dari sisi kritik. Sedangkan dari sisi kritik terkenal nama-nama kritikus unggul Cayley, Hilbert, dan Picard. Sylvester tidak pernah tahu bahan apa yang akan diberikan dalam perkuliahannya. Kleine dalam situasi putus asa terhadap Hilbert dengan kekhilafannya mengenai kreasi intuitif, dengan menggunakan sebarang medium untuk ekspresi yang akan memenuhi angan-angannya. Poincare selalu menyerang tentang pekerjaannya mengenai intuisi mata. Namun dalam semua matematikawan besar mulai dari Pythagoras sampai Poincare kita dapati karakter seniman yang dikombinasikan dalam berbagai derajat dengan karakter kesarjanaan.
Kita dapat juga menjawab pertanyaan yang kedua: Mengapa matematika itu hanya menarik sedikit orang? Mary Austin dalam bukunya "Everyman's Genius" mengajak semua para artis yang kreatif untuk belajar matematika tinggi, hal yang sama dianjurkan oleh Havelock Ellis. Bukan semata-mata tentang keterlibatan sifat kesarjanaan, bukan keingintahuan besar yang dipromosikan, tetapi untuk imajinasi tingkat tinggi yang diperlukan, untuk membangun pendalaman artistik yang tajam. Jika, misalnya, meskipun orang hanya belajar dalam bidang-bidang bilangan aljabar yang superkuadratik, yang mempunyai grup berorder 2N, akan mempelajari sesuatu yang baru tentang keindahan. Jika ia hanya belajar bidang-bidang bangun aljabar simetrik ia akan dipercantik oleh keindahan yang elegan. Aljabar determinan adalah kebun yang elok, terbuka pada setiap sisinya, seperti dapat dilihat dalam risalat Metzler. Jika orang mendapat teorema baru dalam geometri segitiga, ia akan terkejut dengan keindahannya. Hanya mengetahui transversal dari suatu segitiga, misalnya, dengan mengetahui titik-titik Brocard dan lingkaran Brocard, lingkaran Lemoine, lingkaran titik-sembilan dari Feuerbach, lingkaran-lingkaran Tucker, garis-garis isotomik, garis-garis isogonal dan lain-lain bangun, akan membawa keindahan baru pada imajinasi. Dalam teori bilangan teorema terakhir Fermat menunggu buktinya, dan akan mendapat mahkota kemuliaan bagi seseorang yang memberikan bukti. Aljabar-aljabar divisi Dickson menghiasi setiap realm (dunia akal) yang menarik dan dapat menguntungkan bagi teorema-teorema baru. Daftar demikian dapat diperpanjang tanpa akhir.
Banyak matematikawan telah menjadi seniman dengan cara lain-lain. Ada yang menulis puisi, lainnya mengomposisi musik. Inkuiri yang dipimpin oleh kegiatan matematikawan beberapa tahun lampau didapati bahwa kebanyakan dari mereka dengan serius tertarik dalam suatu phase seni. Dan kebanyakan dari mereka dilaporkan bahwa penemuan-penemuan atau kreasi-kreasi mereka datang tepat seperti yang dialami para seniman mendapat inspirasi dengan cara lain. Matematikawan adalah pemimpi, dan dalam impiannya yang ilusif datang dan pergi; timbul dan tenggelam, dan lenyap; menggelinding kembali pada momen yang tidak diharapkan, tetapi terlepas dari genggaman yang akan menahannya; muncul lagi dalam tarian yang janggal, dan bermain dalam warna fantasi; lenyap; dan suatu hari melangkah pergi menggandeng tangan yang telah menantinya, dengan bilangan ideal Kummer sebagai hadiah. Matematikawan bermimpi dan dalam kekisruhannya yang kalut, bunga yang jujur dalam bentuk fantasi mekar dan hilang; angin sepoi-sepoi menggerayanginya dengan kilasan burung-burung masa kini dan seterusnya; dan matematika baru telah lahir, aljabar asosiatif linear oleh Benjamin Peirce. Inilah tanah yang kaya, dan kota, seperti "Metropolis of Tomorrow"nya Hugh Ferris, yang dalam kata-kata Tennyson, "membangun musik, maka yang sesungguhnya sama sekali tidak pernah membangun, dan karena itu selalu membangun". Inilah dunia yang mengetahui tidak ada hukum kedua dari termodinamika, dunia yang menjamin bagi orang-orang yang memang dasarnya kreatif, keabadian waktunya, dan juga ketidakkekalannya.

                                                                                                                                       
  Sumber: http://pustaka.ut.ac.id/website/index.php?Itemid=75&catid=30:fkip&id=137:pema4101-hakikat-dan-sejarah-matematika&option=com_content&view=article

Langganan: Postingan (Atom)